Liczba 13-elementowych zbiorów o sumie 100

[trybut]

Ile jest \(\displaystyle{ 13}\)-elementowych zbiorów liczb całkowitych dodatnich o sumie \(\displaystyle{ 100}\)?

[AdamL]

Proponuję przeczytać mój post w tym temacie: 303545.htm
Szczególnie część o ilości rozwiązań równania. Jeśli nadal nie widzisz bijekcji między problemami zasygnalizuj to tutaj lub, jesli wolisz, na pw

Pozdrawiam

[norwimaj]

Tylko że tu chodzi o zbiory a nie ciągi, więc jest trochę trudniej.-- 29 cze 2012, o 20:04 --Niech takim zbiorem będzie \(\displaystyle{ \{x_1,x_2,\ldots,x_{13}\}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1<x_2<\ldots<x_{13}}\) (w ten sposób mamy kolejność w zbiorze). Podstawmy \(\displaystyle{ x_1=y_1,x_2=y_2+1,x_3=y_3+2,\ldots,x_{13}=y_{13}+12}\).

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{13}=100,}\)

\(\displaystyle{ y_1+y_2+1+y_3+2+\ldots+y_{13}+12=100,}\)

\(\displaystyle{ y_1+y_2+y_3+\ldots+y_{13}=22,}\)

Rozwiązań takiego równania jest \(\displaystyle{ \binom{21}{12}}\), o czym pisał AdamL.

[kriegor]

przeciez jak otrzymamy rozwiazanie rownania z ostatniej linijki na przyklad \(\displaystyle{ 10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}\) to wtedy ciag iksow to \(\displaystyle{ 10,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}\) wiec nie dosc ze jest powtorzenie to w dodatku nie jest on rosnacy

[norwimaj]

Rzeczywiście bzdurę napisałem. Przepraszam.-- 30 cze 2012, o 17:08 --To może tak, niech

\(\displaystyle{ y_1=x_1-1,}\)
\(\displaystyle{ y_2=x_2-x_1-1,}\)
\(\displaystyle{ y_3=x_3-x_2-1,}\)
...
...
\(\displaystyle{ y_{13}=x_{13}-x_{12}-1.}\)

Wtedy równanie

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{13}=100}\) dla \(\displaystyle{ x_1<x_2<\ldots<x_{13}}\)

sprowadza się do

\(\displaystyle{ y_{13}+2y_{12}+3y_{11}+\ldots+13y_1=9}\) dla \(\displaystyle{ y_i\ge0}\).

Liczba rozwiązań jest równa liczbie podziałów liczby \(\displaystyle{ 9}\).