Układanie kul

[Paylinka07]

Mamy \(\displaystyle{ 26}\) kul białych i \(\displaystyle{ 17}\) kul czarnych i układamy je jedna za drugą. Ile jest sposobów takiego ułożenia, aby żadne dwie kule czarne nie leżały obok siebie?

[AdamL]

Łatwo zauważyć, że dla b kul białych i c kul czarnych problem można sprowadzić do problemu ilości rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sum_{i}^{}x _{i} =b}\), gdzie i=c+1. Łatwo zauważyć też, że skrajne iksy, tj \(\displaystyle{ x _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x _{c+1}}\) mogą być równe zero (wszystkie pozostałe są większe, równe 1). Toteż warto do nich dodać 1 (do prawej strony też dodajemy) i otrzymujemy że każde \(\displaystyle{ x _{i} >=1}\). Więc ilość takich rozwiązań to {b+2-1 choose c+1-1}. To jest ((b+2-1) nad (c+1-1)

Dowód, że ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sum_{k}^{}x _{k} =n}\) dla \(\displaystyle{ x _{k}>=1}\)

Wyobraźmy sobie, że mamy n patyczków i musimy je rozdzielić k-1 monetami (aby było k liczb), które z kolei możemy włożyć w n-1 miejsc (pomiędzy każde 2 patyczki). Ta ilość kombinacji to: \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\)

Tak więc, aby otrzymać oczekiwany wynik należy za b przyjąc 26 a za c = 17

[norwimaj]

Trochę nie rozumiem, dlaczego piszesz tu o tych równaniach, skoro i tak potem rozwiązujesz je za pomocą wyjściowego problemu. Mamy \(\displaystyle{ 26}\) białych kul, czyli dla kul czarnych jest \(\displaystyle{ 27}\) miejsc pomiędzy białymi kulami i na brzegach. Wynik to \(\displaystyle{ \binom{27}{17}}\).

[AdamL]

Trochę nie rozumiem, dlaczego piszesz tu o tych równaniach, skoro i tak potem rozwiązujesz je za pomocą wyjściowego problemu. Mamy \(\displaystyle{ 26}\) białych kul, czyli dla kul czarnych jest \(\displaystyle{ 27}\) miejsc pomiędzy białymi kulami i na brzegach. Wynik to \(\displaystyle{ \binom{27}{17}}\).

Nie do końca. Problem sprowadzam do problemu równania, który umiem rozwiązać

[norwimaj]

No dobrze. Rozwiązujesz problem \(\displaystyle{ A}\) poprzez sprowadzenie go do problemu \(\displaystyle{ B}\), bo umiesz rozwiązać problem \(\displaystyle{ B}\) sprowadzając go do problemu \(\displaystyle{ A'}\), który niewiele różni się od \(\displaystyle{ A}\). To tak jak z wylewaniem wody z czajnika.