Chińskie twierdzenie o resztach jak rozłożyć na czynniki

[le3o]

Jak rozłożyć na czynniki te liczby \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 11}\) ?

\(\displaystyle{ x\equiv 5 \ \pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ x\equiv 1 \ \pmod{11}}\)

\(\displaystyle{ 11= 1 \cdot 7+4}\)
\(\displaystyle{ 7= 1 \cdot 4+3}\) <- tu powinno być 1 a nie 3. Jakoś nie chce mi się ładnie to rozłożyć

[akasza666]

NWD(11,7)
\(\displaystyle{ 11=1 \cdot 7+4}\)
\(\displaystyle{ 7=1 \cdot 4 +3}\)
\(\displaystyle{ 4=1 \cdot 3 +1}\)
\(\displaystyle{ 3=3 \cdot 1 +0}\)
dostaliśmy resztę 0 więc największy wspólny dzielnik to 1, żeby zapisać te dwie liczby w postaci całkowitoliczbowej kombinacji:
\(\displaystyle{ 1=1 \cdot 4 +(-1) \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ 3=1 \cdot 7+ (-1) \cdot 4}\)
\(\displaystyle{ 4= 1 \cdot 11 +(-1) \cdot 7}\)

Finalnie:
\(\displaystyle{ 1=1 \cdot 4 +(-1) \cdot 3 = 1 \cdot 4 +(-1)[1\cdot 7+ (-1) \cdot 4]= (-1) \cdot 7+2 \cdot 4= ...}\)
i tak dalej wychodzi
\(\displaystyle{ 2 \cdot 11+(-3) \cdot 7}\)

[octahedron]

Można też tak:

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c||c}1&0&11\\\hline 0&1&7\end{array}\quad w_1-w_2\\\\
\begin{array}{c|c||c}1&-1&4\\\hline 0&1&7\end{array}\quad w_2-w_1\\\\
\begin{array}{c|c||c}1&-1&4\\\hline -1&2&3\end{array}\quad w_1-w_2\\\\
\begin{array}{c|c||c}{\red 2}&{\red -3}&{\red 1}\\\hline -1&2&3\end{array}\\\\
{\red 2}\cdot 11{\red -3}\cdot 7={\red 1}}\)