Konfiguracje kombinatoryczne

[pelas_91]

Udowodnij, że w (v,k,1)-kwadratowej konfiguracji kombinatorycznej każde dwa różne bloki przecinają się w 1 wierzchołku.

[norwimaj]

Wiadomo, że dwa bloki \(\displaystyle{ b_1,b_2}\) nie mogą mieć dwóch albo więcej wspólnych elementów \(\displaystyle{ v_1,v_2(,\ldots)}\), bo wtedy para \(\displaystyle{ \{v_1,v_2\}}\) jest zawarta w dwóch blokach a nie w jednym.

Trzeba jeszcze wykluczyć możliwość, że pewne dwa bloki \(\displaystyle{ b_1,b_2}\) są rozłączne. Coś wymyśliłem, ale nie wiem czy to jest najkrótsza droga.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ b_1=\{v_1,v_2,\ldots,v_k\}, b_2=\{w_1,w_2,\ldots,w_k\}}\) są rozłącznymi blokami. Dla każdej pary \(\displaystyle{ \{v_i,w_j\}}\) istnieje blok \(\displaystyle{ c_{i,j}}\), w którym ta para jest zawarta. Wszystkie bloki \(\displaystyle{ c_{i,j}}\) są parami różne, co wynika z tego, że \(\displaystyle{ \lambda=1}\). Zatem mamy co najmniej \(\displaystyle{ k^2+2}\) bloków.

Liczbę wszystkich par elementów \(\displaystyle{ \{v_i,v_j\}}\) możemy policzyć na dwa sposoby:

\(\displaystyle{ \binom{v}2=b\cdot\binom{k}2}\),

co wobec równości \(\displaystyle{ v=b}\), daje \(\displaystyle{ b=k(k-1)+1=k^2-k+1}\).

Łącząc oba fakty dostajemy nierówność \(\displaystyle{ k^2-k+1\ge k^2+2}\), skąd wynika fałszywa nierówność \(\displaystyle{ 0\ge k+1}\).

[pelas_91]

Zatem mamy co najmniej \(\displaystyle{ k^2+2}\) bloków.

To jest dla mnie niejasne

[norwimaj]

Mamy co najmniej \(\displaystyle{ k^2+2}\) bloków: \(\displaystyle{ b_1,b_2,c_{1,1},c_{1,2},\ldots,c_{k,k-1},c_{k,k}}\).