System algebraiczny - obraz homomorficzny algebry

[Gwynnbleid1]

Witam

Mam problem z następującym zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ +mod7}\) i \(\displaystyle{ *mod7}\) oznaczają odpowiednio operację dodawania liczb całkowitych modulo \(\displaystyle{ 7}\) i mnożenia liczb całkowitych modulo \(\displaystyle{ 7}\). Udowodnij, że algebra \(\displaystyle{ <\left\{ 0,1,2,3,4,5,6\right\} , +mod7, *mod7 >}\) jest obrazem homomorficznym algebry \(\displaystyle{ < N, +, * >}\).

Właśnie próbuje sam coś zrobić(próbuje się dowiedzieć co to jest system algebraiczny, a na razie dla mnie to czysta abstrakcja...). Jak tylko coś uda mi się zrozumieć i wyliczyć to wstawię tutaj. W międzyczasie, jeśli ktoś mógłby mi powiedzieć o co chodzi i jak zacząć byłbym wdzięczny.

[Qń]

Musisz znaleźć funkcję \(\displaystyle{ h:\mathbb{N}\to \{0,1,2,3,4,5,6\}}\), która jest "na" i która jest homomorfizmem, czyli zachowuje działania, tzn.:
\(\displaystyle{ h(x+y)=h(x)+_{mod7}h(y)\\
h(x\cdot y)=h(x)\cdot_{mod7}h(y)}\)

Wskazówka: spróbuj pokazać, że taką funkcją jest \(\displaystyle{ h(x)=x\mod 7}\)

Q.

[Gwynnbleid1]

Musisz znaleźć funkcję \(\displaystyle{ h:\mathbb{N}\to \{0,1,2,3,4,5,6\}}\), która jest "na" i która jest homomorfizmem, czyli zachowuje działania, tzn.:
\(\displaystyle{ h(x+y)=h(x)+_{mod7}h(y)\\
h(x\cdot y)=h(x)\cdot_{mod7}h(y)}\)

Wskazówka: spróbuj pokazać, że taką funkcją jest \(\displaystyle{ h(x)=x\mod 7}\)

Q.

Dzięki za szybką wskazówkę. Dowody to moja pięta achillesowa, ale spróbuje.
Zakładam, że funkcja \(\displaystyle{ h(x)=x\mod 7}\) jest funkcją na i jest homorfizmem.
Dla wartości:
\(\displaystyle{ h(0)=x\mod 7 = 0}\)
\(\displaystyle{ h(1)=x\mod 7 = 1}\)
\(\displaystyle{ h(2)=x\mod 7 = 2}\)
\(\displaystyle{ h(3)=x\mod 7 = 3}\)
\(\displaystyle{ h(4)=x\mod 7 = 4}\)
\(\displaystyle{ h(5)=x\mod 7 = 5}\)
\(\displaystyle{ h(6)=x\mod 7 = 6}\)
ze względu na charakterystykę wykresu funkcji mod wiemy, że wartości będą się powtarzać, dla każdych kolejnych 7 cyfr. Ponieważ jak widać funkcja przyjmuje wartości od 0 do 6 to całkowicie wyczerpuje dziedzinę i tym samym jest funkcją "na".

Aby funkcja była homorfizmem musi spełniać podane wyżej dwa równania:
Musimy zatem pokazać, że dla dowlnych dwóch argumentow 0..6:
a)
\(\displaystyle{ h(x+y)=h(x)+_{mod7}h(y)}\)
mamy:
\(\displaystyle{ (x+y)\mod 7 = x\mod 7 + _{mod7}(y\mod 7)}\)

Nie bardzo wiem co oznacza zapis \(\displaystyle{ _{mod7}h(y)}\), ale jeśli oznacza resztę dzielenia wyniku h(y) przez 7 to widać wyraźnie, ze to równianie jest spełnione dla wszystkich argumentów.

b)
\(\displaystyle{ h(x\cdot y)=h(x)\cdot_{mod7}h(y)}\)
mamy:
\(\displaystyle{ (x \cdot y)\mod7 = x\mod 7 \cdot _{mod7}(y\mod 7)}\)
tutaj widzimy, że równiania są rozłączne i dla każdej wartości obie strony są zawsze różne.

Udowodniliśmy zatem, ze funkcja jest obrazem homomorficznym algebry \(\displaystyle{ < N, +, * >}\).

[norwimaj]

Wskazałeś dobry homomorfizm i dobrze pokazałeś, że jest "na", ale

tutaj widzimy, że równiania są rozłączne

Tego nie rozumiem.

i dla każdej wartości obie strony są zawsze różne.

Miałeś pokazać, że są równe.