Rzut kostką rozklad dystrybuan.,wartość oczekiwana,wariancja

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Gwynnbleid1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 16 sty 2008, o 08:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Rzut kostką rozklad dystrybuan.,wartość oczekiwana,wariancja

Post autor: Gwynnbleid1 »

Witam
Mam następujące zadanie:

Rzucamy 3 razy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza zmienną losową określającą liczbę rzutów, w których suma wyrzuconych oczek jest nieparzysta. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ X}\), dystrybuantę, wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

Rozwiązanie wg. mnie powinno być takie:
Musimy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy nieparzystej liczby oczek przy rzucie dwiema kostkami. Potem policzyć prawdopodobieństwo zajścia tego zdarzenia 0,1,2,3 razy przy trzykrotnym powtórzeniu.

Rzucamy kostkami, kolejność jest ważna i elementy mogą się powtarzać, zatem mamy wariacje z powtórzeniami
Dla jednokrotnego rzutu dwiema kostkami mamy:
Wszystkich kombinacji jest \(\displaystyle{ 6^{2} = 36}\)
Nieparzystą sumę otrzymamy gdy jedna liczba będzie parzysta, a druga nieparzysta.
Pierwsza liczba na trzy sposoby, druga liczba na trzy sposoby i razy dwa (bo albo parzysta albo nieparzysta pierwsza).
Czyli:
\(\displaystyle{ 3*3*2 = 18}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ P_{1} = \frac{18}{36}= \frac{1}{2}}\)

Teraz korzystamy ze schematu Bernoulliego, wyrażonego wzorem:
\(\displaystyle{ P(n,k,p) = {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}}\)
gdzie: \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}, q= \frac{1}{2}}\)

Mamy zatem:
\(\displaystyle{ P(3,0,\frac{1}{2}) = {3 \choose 0} \cdot \frac{1}{2}^{0} \cdot \frac{1}{2}^{3} = \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ P(3,1,\frac{1}{2}) = {3 \choose 1} \cdot \frac{1}{2}^{1} \cdot \frac{1}{2}^{2} = \frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ P(3,2,\frac{1}{2}) = {3 \choose 2} \cdot \frac{1}{2}^{2} \cdot \frac{1}{2}^{1} = \frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ P(3,3,\frac{1}{2}) = {3 \choose 3} \cdot \frac{1}{2}^{0} \cdot \frac{1}{2}^{3} = \frac{1}{8}}\)

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej wygląda zatem tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases{cases}} \frac{1}{8} dla x = 0 \\ \frac{3}{8} dla x = 1 \\ \frac{3}{8} dla x = 2 \\ \frac{1}{8} dla x = 3 \end{cases{cases}}}\)

Wartość oczekiwana równa jest:
\(\displaystyle{ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{9}{8}}\)

Wariacja jest równa:
\(\displaystyle{ V(X) = (0 - \frac{9}{8})^{2} \cdot \frac{1}{8}+(1 - \frac{9}{8})^{2} \cdot \frac{3}{8}+(2 - \frac{9}{8})^{2} \cdot \frac{3}{8} + (3 - \frac{9}{8})^{2} \cdot \frac{1}{8}}\)

Odchylenie standardowe to natomiast:
\(\displaystyle{ \sqrt{V(X)}}\)

Prosiłbym o weryfikację i ew. naprowadzenie na prawidłową drogę rozwiązania.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Rzut kostką rozklad dystrybuan.,wartość oczekiwana,wariancja

Post autor: Kartezjusz »

dwiema kostkami rzucamy jednocześnie ?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Rzut kostką rozklad dystrybuan.,wartość oczekiwana,wariancja

Post autor: norwimaj »

Wszystko poprawnie aż do błędu rachunkowego przy liczeniu \(\displaystyle{ E(X)}\). Zresztą wartość oczekiwaną i wariancję można policzyć nie korzystając z wyliczonego rozkładu.
\(\displaystyle{ EX=EX_1+EX_2+EX_3=3\cdot\frac12=\frac32}\).
\(\displaystyle{ EX^2=\sum_i EX_i^2+\sum_{i\ne j}X_iX_j=3\cdot\frac12+6\cdot\frac14=\ldots}\)


Kartezjusz pisze:dwiema kostkami rzucamy jednocześnie ?
Rzucamy jednocześnie, ale jedna kostka jest czerwona a druga niebieska.
ODPOWIEDZ