Okrągly stół

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Gwynnbleid1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 16 sty 2008, o 08:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Okrągly stół

Post autor: Gwynnbleid1 »

Witam
mam takie zadanie:

Babcia zaprosiła na wieczerze wigilijną 10-osobową rodzinę. Postanowiła ugościć ich przy dużym okrągłym stole. Na ile sposobów może to zrobić jeśli istotne jest kto koło kogo siedzi, a nie na którym siedzi krześle oraz Jan nie może siedzieć koło Krzysztofa?

Wg. mnie:
Ponieważ krzesła nie są istotne, więc ustawiamy gości w ciąg(kto przy kim siedzi jest istotne, więc nie kombinacja), w którym sąsiednie elementy (oraz pierwszy i ostatni element) są sąsiednimi krzesłami.
Mamy zatem \(\displaystyle{ n!}\), czyli \(\displaystyle{ 10!}\)
Musimy to pomniejszyć o przypadki gdzie Jan siedzi koło Krzysztofa, czyli \(\displaystyle{ 9\cdot2!}\)

Kombinacji jest zatem \(\displaystyle{ 10! - 9 \cdot2!}\)

Prosiłbym o weryfikacje lub nakierowanie na prawidłowe tory.
adamglos92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 19 paź 2010, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żory
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 12 razy

Okrągly stół

Post autor: adamglos92 »

Witaj Biały Wilku:)
nie do konca masz racje.
\(\displaystyle{ 10!}\) to permutacja ludzi do krzesel - czyli jest istotne kto gdzie siedzi. Musisz ta liczbe podzielic przez 10, poniewaz mozesz calosc obraca o jedno miejsce na 10 różnych sposobów.
Również nie d końca masz rację co do następnej rzeczy. zgadza się jeśli chodzi o \(\displaystyle{ 2!}\), jednak pozostałe 8 osób i para JK może usiąść w sumie na 9 różnych sposobów (znowu podzielić przez liczbę możliwych obrotów - tutaj 9).
Wynikiem jest więc:
\(\displaystyle{ x= \frac{10!}{10} - \frac{9!\cdot 2!}{9}}\)
Gwynnbleid1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 16 sty 2008, o 08:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Okrągly stół

Post autor: Gwynnbleid1 »

adamglos92 pisze:Witaj Biały Wilku:)
nie do konca masz racje.
\(\displaystyle{ 10!}\) to permutacja ludzi do krzesel - czyli jest istotne kto gdzie siedzi. Musisz ta liczbe podzielic przez 10, poniewaz mozesz calosc obraca o jedno miejsce na 10 różnych sposobów.
Również nie d końca masz rację co do następnej rzeczy. zgadza się jeśli chodzi o \(\displaystyle{ 2!}\), jednak pozostałe 8 osób i para JK może usiąść w sumie na 9 różnych sposobów (znowu podzielić przez liczbę możliwych obrotów - tutaj 9).
Wynikiem jest więc:
\(\displaystyle{ x= \frac{10!}{10} - \frac{9!\cdot 2!}{9}}\)
Hehe Od podstawówki używam tego nicku(będzie grubo ponad 10 lat) i jak dotąd spotkałem tylko jedną osobę, która zna jego znaczenie!!! I to z tego co widzę osoba chyba młodsza odemnie Pozdrawiam pozdrawiam !!!!

Wracając do zadania:
Czy gdyby stół był rzeczywiście ciągiem, a nie stołem, to nadal by było \(\displaystyle{ 10!/10}\) jeśli dobrze rozumiem? jeśli tak to czegoś takiego dojść ? Mam na myśli jakie rozumowanie należy przyjąć ?
Dla stołu to rozumiem, że
Jakby kolejność krzeseł była ważna to nie byłoby wtedy dzielenia przez 10 i 9 ?
Przyszło mi do głowy coś takiego:wybieram pierwsze krzesło kombinacja 1 z 10 czyli 10 i kolejno zapełniam je goścmi czyli pierwsze miejsce 10, kolejne 9 sposobów itp. Czyli 10 * 10!. Aby kolejność nie miała znaczenia to muszę podzielić to przez te 10 przypadków wyboru początku ciągu. Czy to ma sens ?
adamglos92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 19 paź 2010, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żory
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 12 razy

Okrągly stół

Post autor: adamglos92 »

Musisz przyznac ze gwynbleidd nie jest najpopularniejszym imieniem Geralta:)

Co do przykładu, dzielenie przez 10 ma miejsce, ponieważ pierwsza osoba może siedzieć na pierwszym, drugim trzecim itd krześle.

Następnym przypadek to jeszcze coś innego, wybierasz krzesło czyli jakby "rozwijasz" okrągły stół:) czyli najpierw ustawiasz krzesła w rosnący ciąg (z poprawką na 10-> 1) a dopiero potem sadzasz ludzi na miejsca.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Okrągly stół

Post autor: norwimaj »

Ale wszystkich ustawień nie jest \(\displaystyle{ \frac{10!}{10}}\), tylko \(\displaystyle{ \frac{10!}{10\cdot2}}\), bo jeśli zmienimy kolejność na przeciwną, to nadal te same osoby siedzą obok siebie.
adamglos92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 19 paź 2010, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żory
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 12 razy

Okrągly stół

Post autor: adamglos92 »

Hmm. Możesz miec rację. Wszystko zależy od tego, czy ustalamy, czy ważne jest że ktoś jest po czyjejś lewej czy prawej stronie, czy jest to obojetne. Z treści zadania nie wynika to zbyt dokładnie.
Gwynnbleid1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 16 sty 2008, o 08:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Okrągly stół

Post autor: Gwynnbleid1 »

adamglos92 pisze:Musisz przyznać ze gwynbleidd nie jest najpopularniejszym imieniem Geralta:)
Rzeczywiście nie jest, ale jak tylko przeczytałem ten fragment książki to od zawsze wtedy dla mnie on się tak nazywał Wtedy zresztą popełniłem tą literówkę. Tworzyłem (pierwszego chyba) maila i nie miałem książki pod ręką. Potem się okazało, że w wielu miejscach obie formy poprawna i niepoprawna są zajęte i stąd zostało gwynnbleid1
adamglos92 pisze:Co do przykładu, dzielenie przez 10 ma miejsce, ponieważ pierwsza osoba może siedzieć na pierwszym, drugim trzecim itd krześle.

Następnym przypadek to jeszcze coś innego, wybierasz krzesło czyli jakby "rozwijasz" okrągły stół:) czyli najpierw ustawiasz krzesła w rosnący ciąg (z poprawką na 10-> 1) a dopiero potem sadzasz ludzi na miejsca.
Czyli moje rozumowanie ma trochę sensu. Po wyborze pierwszego krzesła trzeba wybrać kierunek na 2 sposoby, stąd dzielenie przez 2.
norwimaj pisze:Ale wszystkich ustawień nie jest \(\displaystyle{ \frac{10!}{10}}\), tylko \(\displaystyle{ \frac{10!}{10\cdot2}}\), bo jeśli zmienimy kolejność na przeciwną, to nadal te same osoby siedzą obok siebie.
Nie będę się zatem spierał. Myślę że podzielę przez dwa. Mam wrażenie, że to jest jeszcze jeden haczyk, na którym można odebrać punkty.

Wielkie dzięki za pomoc. Odezwę się jak tylko będę miał wyniki!!!
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Okrągly stół

Post autor: norwimaj »

Tylko jak będziesz pisał, to koniecznie z uzasadnieniem, dlaczego dzielisz przez \(\displaystyle{ 2}\), bo być może autor zadania sformułował je inaczej niż chciał.
ODPOWIEDZ