Tożasamość z symbolem Newtona

[sophiemarceau]

Przy wyprowadzaniu wzoru i porównywaniu go z oryginałem doszłam do pewnej tożsamości, którą chciała bym jakoś rozpisać, z założenia jest ona prawdziwa. Potwierdzicie ?

Mianowicie chodzi o:

\(\displaystyle{ k!(n-1)!=n!(k-1)!}\)

[scyth]

z założenia jest ona prawdziwa

Co to znaczy? Równość skraca się do \(\displaystyle{ n=k}\).

[sophiemarceau]

Miałam na myśli nie założenie a tezę, tzn. domniemam że jest to tożsamość. Może pokaże o co chodzi.

Gdzieś znalazłam taki fajny wzór (bodajże nazywający się schematem/modele Bolzano-Einsteina), który stosuję się do wszystkich zadań typu, na ile sposób można umieścić n-czegoś tam, w k-czegoś tam. Wzór przedstawia się następująco:

\(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}}\)

i porównuję go ze wzorem który znalazłam w innej książce, który niby ma działać identycznie jak ten u góry:

\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n+k-1-k)!}= \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}\)

Jak widać liczniki się zgadzają, ale mianowniki już nie.

[scyth]

Tylko jeden z nich jest poprawny.

[sophiemarceau]

A który ?

Niech zgadnę, ten \(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}}\)

Próbowałam szukać nazwy tego wzoru, gdzieś w notatkach przewinął się "model Bolzano-Einsteina", ale z tego co wiem to zagadnienia związane prędzej jest z fizyką a nie matematyka. Jakoś wujek google nic nie mówi o konotacjach z matematyką, pewnie przez to że nazwa jest błędna. Był już tu raz na forum wykorzystywany ten wzór i użyto tej nazwy, ale chyba błędnie, bo jeśli była by poprawna to google powinno podawać więcej wyników.

[scyth]

Z definicji silni:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)
wynika, że wzór z książki jest prawidłowy.

[sophiemarceau]

Nie za bardzo Cię rozumiem.

Podałam wzór który "nazywamy" modelem Bolzano-Einsteina mianowicie

\(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}}\)

Działa na każdym przypadku, w każdym zadaniu.

Oraz znaleziony gdzieś w książce, który powinien działać. Ale jakoś nie za bardzo mu to wychodzi.

\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\)

Rozpisałam go (zakładam że poprawnie) do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{k!(n+k-1-k)!}= \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}\)

I jakoś nie odpowiada temu pierwszemu (modelowi Bolzano-Einsteina). Pytanie, czy pomyliłam się przy rozpisywaniu czy może ten wzór drugi \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\)(wprowadźmy takie oznaczenie żeby wiedzieć który jest który) jest kolokwialnie mówiąc "do dupy".

[scyth]

Czyli pomieszałaś dwa pojęcia - model nie ma wiele wspólnego z symbolem Newtona.
301016.htm#p4942011

[sophiemarceau]

Ok, więc może podejdźmy tak:

Czy model Bolzano Einsteina, \(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}}\) jest tożsamy z \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\) ?

Ten drugi rozpisywałam korzystając z symbolu Newtona (można tak?)

I druga kwestia, czy model Bolzano Einsteina to aby poprawna nazwa ?

[scyth]

Nie, nie jest.
Tak, poprawna.

[sophiemarceau]

Czy posiadasz jakąś literaturę w której występuję ta nazwa (to nie kwestia braku zaufania wobec Ciebie), ale zapewne znajdę tam wyprowadzenie tego wzoru.

A tak po za tym, skoro wzór \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\) to wstyd dla autora, który używał go do rozwiązywania (błędnego) zadań z kombinatoryki.

Porównywałam z Bolzano-Einsteinem i wychodziło co innego.

Może znajdę gdzieś jakąś literaturę w której ten model który się pod inną nazwą ?

Trzecia kwestia (widzę że jesteś doświadczony):


EDIT> Czy zadanie w którym użytkownik kieubass wykorzystał model B-N w obu podpunktach, szczególnie drugim, jest rozwiązane aby na pewno poprawnie ?

Wiem że wymagam dużo, może za dużo, ale jako że nie trzeba wykonywać wielu obliczeń i rozwiązanie się "widzi", to...

Z góry dziekuję za dotychczasową pomoc!

[kieubass]

Ok, więc może podejdźmy tak:

Czy model Bolzano Einsteina, \(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}}\) jest tożsamy z \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\) ?

Ten drugi wzór przypomina mi wzór na kombinacje z powtórzeniami znaleziony w encyklopedii matematyki wydawnictwa Greg i co najlepsze jego zastosowanie było podane to samo czyli rozmieszczanie \(\displaystyle{ n}\) nierozróżnialnych kul w \(\displaystyle{ k}\) szufladach. I tutaj też miałem zagadkę czy to się równa to samo bo miałem wątpliwości ale już z czystego lenistwa to sobie odpuściłem bo skoro u mnie na wydziale wprowadzili model Bolzano-Einsteina a kombinacji z powtórzeniami nie, to wiadomo że będę korzystał z tego pierwszego -- 18 cze 2012, o 07:57 --Link do zadania w którym korzystałem z modelu Bolzano-Einsteina:

301016.htm

Zadanie 1