ilość sposobów usadzenia przy okrągłym stole.

[piorko_92]

Na ile sposobów można posadzić 3-osobowe delegacje n różnych państwa przy okrągłym stole, tak aby żadna trójka delegatów tego samego państwa nie siedziała obok siebie. Osoby tej samej delegacji są rozróżnialne.

Na pewno będzie zasada włączeń/wyłączeń.
\(\displaystyle{ \left( 3n!\right)}\) to będzie ilość wszystkich usadzeń przy stole.
\(\displaystyle{ A_{i}=}\){ i-ta trójka delegatów siedzi razem przy stole}
\(\displaystyle{ \left| N_{0} \right| = \left( 3n!\right) + \sum_{k=1}^{n} \sum_{\left\{ i_{1};...; i_{k} \right\} \subseteq I }^{} \left( -1\right)^{k} \left| A_{ i_{1} } \cap ... \cap A_{ i_{k} } \right|}\)
no i teraz to czego nie jestem pewny a wiec, czy \(\displaystyle{ \left| A_{ i_{1} } \cap ... \cap A_{ i_{k} } \right|= {n \choose k} \cdot k! \cdot \left( 3!\right) ^{k}}\)
Moze napisze skąd mi się to wzięło. A wiec, najpierw wybieram z n miejsc dla trójek k takich miejsc, następnie wszystkie trójki permutuje pomiędzy sobą, a potem permutuje delegatów w każdej z trójek.
wiec dalej mój wynik końcowy, to
\(\displaystyle{ \left| N_{0} \right| = \left( 3n!\right) + \sum_{k=1}^{n}\left( -1\right)^{k}{n \choose k} \cdot {n \choose k} \cdot k! \cdot \left( 3!\right) ^{k}}\)
drugie n po k bierze mi się dlatego, bo rozważam k trójek z n.
Jakby ktoś mógł zweryfikować ten wynik, potwierdzić, albo znaleźć błąd w wyniku to byłbym bardzo wdzięczny.

[norwimaj]

Jakie usadzenia uznajemy za różne? Bez tej informacji nie ma sensu dalej rozwiązywać.

\(\displaystyle{ \left( 3n!\right)}\) to będzie ilość wszystkich usadzeń przy stole.

\(\displaystyle{ (3n)!}\)

A wiec, najpierw wybieram z n miejsc dla trójek k takich miejsc,

Tych miejsc jest \(\displaystyle{ n}\)?

następnie wszystkie trójki permutuje pomiędzy sobą, a potem permutuje delegatów w każdej z trójek.

Osoby spoza wybranych trójek jak usadzasz?



Próbuj metodą "na grubasa". Jak trzy konkretne osoby mają siedzieć obok siebie, to traktujesz je jako jedną osobę.

[piorko_92]

yhh, oczywiście, że tam silnia powinna być poza nawiasami no jest n panstw, wiec domyslam sie ze jest 3 n miejsc przy stole, czyli każdą trójke traktuje jako jedno właśnie tym sposobem na grubasa

Osoby spoza wybranych trójek jak usadzasz?

hymm, no tego nie uwzględniłem, jakiś pomysł jak dodać to do rozwiązania ?

[__Cichy__]

Jest to złe rozwiązanie !
Np. wszystkich możliwość rozsadzenia \(\displaystyle{ n}\) osób przy okrągłym stole jest \(\displaystyle{ (n-1)!}\).

[norwimaj]

Zamiast \(\displaystyle{ \binom nk}\), powinno być coś innego. Miejsca dla pierwszej z \(\displaystyle{ k}\) wybranych delegacji wybieramy na \(\displaystyle{ 3n}\) sposobów, dla drugiej na \(\displaystyle{ 3n-5}\) sposobów, ale dla trzeciej, to już nie wiadomo.

Lepiej będzie, jak tymczasem policzymy, ile jest ustawień osób w szereg. Jeśli \(\displaystyle{ k}\) delegacji łączymy w grubasy, to mamy teraz \(\displaystyle{ 3n-2k}\) osób. Je ustawiamy w szereg na \(\displaystyle{ (3n-2k)!}\) sposobów i każdego grubasa formujemy na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów. Łącznie mamy więc \(\displaystyle{ \left| B_{ i_{1} } \cap ... \cap B_{ i_{k} } \right|=(3n-2k)!\cdot6^k}\) ustawień w szereg. Pomyśl, jak z tego wyliczyć \(\displaystyle{ \left| A_{ i_{1} } \cap ... \cap A_{ i_{k} } \right|}\).-- 17 cze 2012, o 22:53 --

Np. wszystkich możliwość rozsadzenia \(\displaystyle{ n}\) osób przy okrągłym stole jest \(\displaystyle{ (n-1)!}\).

To zależy od interpretacji treści zadania. Równie dobrze może tych ustawień być \(\displaystyle{ \left\lceil\frac{(n-1)!}2\right\rceil}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ n=0}\).

[piorko_92]

treść zadania jest dokladnie taka jak napisalem w pierwszym poście. Wiec nie ma tu nic wspomniane o tym, czy miesjca są rozróżnialne.

Miejsca dla pierwszej z wybranych delegacji wybieramy na \(\displaystyle{ 3n}\) sposobów, dla drugiej na sposobów, ale dla trzeciej, to już nie wiadomo.

wogole tego nie rozumiem
Ja napisalem \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) bo (chwilo teraz) traktuje jedną trójke jako całość. Przy stole jest miejsc dla n trójek. Wiec z tych wszystkich miejsc wybieram sobie k, dla moich trójek które będa siedziały obok siebie. No i dalej to juz tak jak napisalem wcześniej. permutuje sobie tych k wybranych trójek i permutuje je "w środku" ( ustawienia delegatów). Teraz myslalem co jeszcze zrobic z resztą ludzi, ale po prostu przepermutaowac ich nie mozna bo przeciez tam tez beda przypadki kiedy jakas tójka trafi kolo siebie...

[norwimaj]

Ja napisalem \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) bo (chwilo teraz) traktuje jedną trójke jako całość.

Jeśli masz \(\displaystyle{ 6}\) miejsc przy stole i chcesz posadzić jedną trójkę razem, to na ile sposobów możesz wybrać miejsca dla tej trójki? \(\displaystyle{ 2=n}\), czy \(\displaystyle{ 6=3n}\)?

[piorko_92]

no dobra, teraz rozumiem - na 6 sposobów
ale co dalej...

[norwimaj]

Widzisz jakiś związek pomiędzy ustawieniami w szereg a usadzeniami wokół okrągłego stołu? Mogą być pomocne też usadzenia wokół stołu z nierozróżnialnymi miejscami.