Suma potęg ubywających

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
sophiemarceau
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 15 maja 2012, o 17:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 14 razy

Suma potęg ubywających

Post autor: sophiemarceau »

Jak za pomocą sumy potęg ubywających wyrazić \(\displaystyle{ k^4}\) ?

Pozdrawiam !
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Suma potęg ubywających

Post autor: »

\(\displaystyle{ k^n= \sum_{i=0}^{n}\left\{ \begin{matrix}n\\i\\\end{matrix}\right\} k^{\underline{i}}}\)

Q.
sophiemarceau
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 15 maja 2012, o 17:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 14 razy

Suma potęg ubywających

Post autor: sophiemarceau »

Mam problem z tymi liczbami Stirlinga drugiego stopnia, na podstawie tego przykładu nie potrafię ich obliczyć. W ogóle nie potrafię ich obliczyć, nie wiem w jaki sposób to się robi, a jest to potrzebne do obliczenia współczynników przy potęgach ubywających. Weźmy przykład o którym już mówiłam:

\(\displaystyle{ k^{4}=(A)k^{\underline{4}}+(B)k^{\underline{3}}+(C)k^{\underline{2}}+(D)k^{\underline{1}}}\)

Wielkimi literami w nawiasach zaznaczyłem współczynniki przy odpowiednich potęgach ubywających. Jak je obliczyć ?
Tj. próbuję podstawić odpowiednio do każdej potęgi:

Na przykład współczynniki przy \(\displaystyle{ x^{\underline{3}}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix}n\\i\\\end{matrix}\right\}= \left\{ \begin{matrix}4\\3\\\end{matrix}\right\}}\) Jak mam obliczyć liczbę Stirlinga rodzaju drugiego ?

Znalazłem wzór który rozpisuje takową liczbę na:

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix}n\\i\\\end{matrix}\right\} = k \left\{ \begin{matrix}n-1\\k\\\end{matrix}\right\} + \left\{ \begin{matrix}n-1\\k-1\\\end{matrix}\right\}}\)

Nic mi to nie daje żeby wyjść na jakąś liczbę naturalną, nadal mam te nawiasy które wskazują na liczbę Stirlinga drugiego rodzaju i wydaję się że po prostu z tego nie wyjdę, korzystając z tego wzoru. A chcę wyjść na liczbę naturalną

Czy ktoś może rozpisać to na jednym przykładzie ? Resztę chyba da się zrobić analogicznie.
abc666

Suma potęg ubywających

Post autor: abc666 »

... II_rodzaju
sophiemarceau
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 15 maja 2012, o 17:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 14 razy

Suma potęg ubywających

Post autor: sophiemarceau »

Toż właśnie z tego korzystam

Ale jak rozpiszę, mój przypadek, to nadal przecież mam "liczby w nawiasach klamrowych", pytanie tylko, jak z nich wyjść. Tj. z tych nawiasów.-- 17 cze 2012, o 00:35 --Dobra, w sumie, jeśli kogoś by to interesowało lub miał by podobny problem. Wystarczy skorzystać z trójkąta na liczby Stirlinga II rodzaju, coś "podobnego" do trójkąta Pascala. Odczytuje się jednak wartości w kolejności odwrotnej, tj. po "arabsku", od prawej do lewej.
adner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 7 lut 2008, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok / Warszawa
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 63 razy

Suma potęg ubywających

Post autor: adner »

Trójkąt ten powstaje na podstawie równania rekurencyjnego, które zostało podane powyżej.
sophiemarceau
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 15 maja 2012, o 17:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 14 razy

Suma potęg ubywających

Post autor: sophiemarceau »

Ale jakoś nikt nie raczył, nie chciał lub po prostu nie miał ochoty wyjaśnić mi tego jak pozbyć się tych "nawiasów klamrowych".
kriegor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 330
Rejestracja: 21 sty 2012, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ut
Podziękował: 182 razy
Pomógł: 1 raz

Suma potęg ubywających

Post autor: kriegor »

przeciez mialas wzor rekurencyjny! stosuje sie go pare razy i nawiasy klamrowe znikaja kiedy dochodzimy do warunkow brzegowych nie wiem w czym problem.....
ODPOWIEDZ