Ile jest naturalnych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 40}\) spełniających nierówność \(\displaystyle{ 0 \le X_{1} \le 9}\) ?
Jak to rozgryźć ?
Ile jest rozwiązań równania
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Ile jest rozwiązań równania
ogólna sytuacja: \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_k=n}\), gdzie \(\displaystyle{ x_i\in\mathbb{N}}\) dla \(\displaystyle{ 1\le i\le k}\)
wtedy liczba wszystkich rozwiązań tego równania to: \(\displaystyle{ {n+k-1\choose k-1}}\), dowód kombinatoryczny - stawiamy w rzędzie \(\displaystyle{ n+k-1}\) piłeczek po czym wybieramy z nich \(\displaystyle{ k-1}\) zamieniając je w ścianki dzięki czemu pozostaje \(\displaystyle{ n}\) piłeczek podzielonych na \(\displaystyle{ k}\) segmentów, gdzie liczba piłeczek w \(\displaystyle{ i}\)-tym segmencie to wartość \(\displaystyle{ x_i}\)..
dzięki temu z łatwością możemy policzyć ile jest wszystkich rozwiązań Twojego równania, po czym musimy odjąć wszystkie te w których \(\displaystyle{ 10\le x_1\le 40}\) (co zapisujemy w postaci pewnej sumy, którą dzięki hintowi u góry jesteś w stanie napisać) i uprościć wynik..
wtedy liczba wszystkich rozwiązań tego równania to: \(\displaystyle{ {n+k-1\choose k-1}}\), dowód kombinatoryczny - stawiamy w rzędzie \(\displaystyle{ n+k-1}\) piłeczek po czym wybieramy z nich \(\displaystyle{ k-1}\) zamieniając je w ścianki dzięki czemu pozostaje \(\displaystyle{ n}\) piłeczek podzielonych na \(\displaystyle{ k}\) segmentów, gdzie liczba piłeczek w \(\displaystyle{ i}\)-tym segmencie to wartość \(\displaystyle{ x_i}\)..
dzięki temu z łatwością możemy policzyć ile jest wszystkich rozwiązań Twojego równania, po czym musimy odjąć wszystkie te w których \(\displaystyle{ 10\le x_1\le 40}\) (co zapisujemy w postaci pewnej sumy, którą dzięki hintowi u góry jesteś w stanie napisać) i uprościć wynik..
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Ile jest rozwiązań równania
adambak pisze:ogólna sytuacja: \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_k=n}\), gdzie \(\displaystyle{ x_i\in\mathbb{N}}\) dla \(\displaystyle{ 1\le i\le k}\)
wtedy liczba wszystkich rozwiązań tego równania to: \(\displaystyle{ {n+k-1\choose k-1}}\)
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Ile jest rozwiązań równania
można też inaczej:
(jako, że na pozostałe cztery liczby nie ma ograniczeń to sumuję do nieskończoności żeby ułatwić rachunki)
\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{9}x^n\right)\left( \sum_{n=0}^{+\infty}x^n\right)^4=\frac{1-x^{10}}{1-x}\cdot \frac{1}{(1-x)^4}=\frac{1}{(1-x)^5}-x^{10}\cdot \frac{1}{(1-x)^5}= \\ \\ \sum_{n=0}^{+\infty}{n+4\choose 4}x^n - x^{10}\sum_{n=0}^{+\infty}{n+4 \choose 4}x^n=...}\)
wystarczy to uprościć i znaleźć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{40}}\), ale to już zostawiam do zrobienia samemu..
też kiedyś wolałem gotowce, ale na pewnym poziomie one nic nie dają, to droga donikąd.. sporo już podpowiedziałem i tak to zostawiam..
(jako, że na pozostałe cztery liczby nie ma ograniczeń to sumuję do nieskończoności żeby ułatwić rachunki)
\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{9}x^n\right)\left( \sum_{n=0}^{+\infty}x^n\right)^4=\frac{1-x^{10}}{1-x}\cdot \frac{1}{(1-x)^4}=\frac{1}{(1-x)^5}-x^{10}\cdot \frac{1}{(1-x)^5}= \\ \\ \sum_{n=0}^{+\infty}{n+4\choose 4}x^n - x^{10}\sum_{n=0}^{+\infty}{n+4 \choose 4}x^n=...}\)
wystarczy to uprościć i znaleźć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{40}}\), ale to już zostawiam do zrobienia samemu..
też kiedyś wolałem gotowce, ale na pewnym poziomie one nic nie dają, to droga donikąd.. sporo już podpowiedziałem i tak to zostawiam..