Na ile sposobów można rozdać talię kart

[le3o]

1. Oblicz ilość liczb 10 cyfrowych które w zapisie dziesiętnym zawierają jedynie cyfry 1 , 2 ,3 ,4 ,5 przy czym każda z tych cyfr występuje co najmniej raz

Nie bardzo tego rozumiem może to ktoś rozpisać i wytłumaczyć ?


2.
Na ile sposobów można rozdać talię kart 52 pomiędzy 4 graczy jeżeli każdy gracz otrzymuje co najmniej jedną kartę

Dlaczego tak właśnie ma wyjść ?
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 4^{52}-4*3^{52}+6*2^{52}-4}\)

[silvaran]

Zad 2
\(\displaystyle{ 4^{52}}\) ilość wszystkich rozdań kart między czterech graczy (każdej karcie możemy przyporządkować jednego z czterech graczy)
Odejmujemy od tego, te które nie pasują z treści zadania.
\(\displaystyle{ 4\cdot 3^{52}}\) rozdania między trzech graczy (przemnożone przez cztery, bo na cztery sposoby możemy wybrać jednego gracza z czterech)
Dalej analogicznie.

[adambak]

Zad 1.
\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)^5=(e^x-1)^5=5e^x-10e^{2x}+10e^{3x}-5e^{4x}+e^{5x}-1=\\ \\ =5 \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}-10 \sum_{n=0}^{+\infty}}2^n\frac{x^n}{n!}+10\sum_{n=0}^{+\infty}3^n\frac{x^n}{n!}-5\sum_{n=0}^{+\infty}4^n\frac{x^n}{n!}+\sum_{n=0}^{+\infty}5^n\frac{x^n}{n!}-\sum_{n=0}^{+\infty}\left[ n=0\right] =\\ \\ =\sum_{n=0}^{+\infty} \left( 5-10\cdot 2^n+10\cdot 3^n-5\cdot 4^n+5^n -\left[ n=0 \right]\right) \frac{x^n}{n!}}\)

współczynnik przy \(\displaystyle{ \frac{x^{10}}{10!}}\) jest odpowiedzią..

[le3o]

A może do tego zad 1 jakieś małe objaśnienie ? bo nie kojarze

[adambak]

użyłem wykładniczej funkcji tworzącej jako enumerator permutacji.. mamy pięć elementów (cyfry) z których budujemy liczbę, element może występować \(\displaystyle{ 1,...,k}\) razy więc bierzemy jego wkład do iloczynu w postaci: \(\displaystyle{ \left(x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^k}{k!}\right)}\), wtedy współczynnik przy \(\displaystyle{ x^r}\) jest postaci sumy wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{1}{p!q!\cdots}}\) gdzie \(\displaystyle{ p+q+...=r}\) , a jak wiadomo \(\displaystyle{ \frac{r!}{p!q!\cdots}}\) jest liczbą permutacji \(\displaystyle{ r}\) elementów wśród których jest \(\displaystyle{ p}\) elementów nierozróżnialnych pierwszego rodzaju, \(\displaystyle{ q}\) drugiego rodzaju i tak dalej..

ja zapisywałem wszystkie sumy do nieskończoności bo to upraszcza sprawę a nic nie psuje (istotne jest jednak by zaczynać sumowanie od \(\displaystyle{ n=1}\), bo elementy mają wystepować conajmniej jeden raz).. ogólnie to te szeregi robią za nas wszystko, wystarczy umieć się nimi posługiwać.. trzeba też wiedzieć kiedy użyć enumeratora kombinacji, a kiedy permutacji..