Witam.
Nie mogę dojść do tego w jaki sposób zastosować metodę przewidywań w celu rozwiązania poniższego równania rekurencyjnego.
\(\displaystyle{ a_{n+2} + 4a_{n} + 2^{n+3}\cos \left( \frac{n\pi}{2} \right) = 0}\)
Proszę o podpowiedź.
Równanie rekurencyjne - przewidywanie
Równanie rekurencyjne - przewidywanie
Ostatnio zmieniony 16 cze 2012, o 19:30 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
abc666
Równanie rekurencyjne - przewidywanie
Mamy równanie
\(\displaystyle{ a_{n+2}=-4a_{n}+f \left( n \right)}\)
więc najpierw rozwiązujesz równanie jednorodne
\(\displaystyle{ a_{n+2}=-4a_{n}}\)
r. charakterystyczne \(\displaystyle{ x^{2}=-4}\) skąd \(\displaystyle{ x_{1}=2i, x_{2}=-2i}\)
skąd dostajemy \(\displaystyle{ a_{n}^{o}=C_{1}\cdot \left( 2i \right) ^{n}+C_{2}\cdot \left( -2i \right) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ f \left( n \right) =-2^{n+3}\cdot \cos \left( \frac{n\pi}{2} \right)}\)
musimy teraz zamienić kosinusa na postać zespoloną (za chwilę dlaczego), dostajemy
\(\displaystyle{ f \left( n \right) =-2^{n+2}\left( e^{-\frac{i\pi\cdot n }{2}}+e^{\frac{i\pi\cdot n }{2}} \right)=-4\cdot \left( 2e^{-\frac{i\pi}{2}} \right) ^{n}-4\cdot \left( 2e^{\frac{i\pi}{2}} \right) ^{n}=\\
-4\cdot \left( -2i \right) ^{n}-4\cdot \left( 2i \right) ^{n}}\)
i już widzimy dlaczego ta zamiana była potrzebna. Ponieważ \(\displaystyle{ f \left( n \right)}\) jest sumą dwóch funkcji wykładniczych, czyli jest postaci \(\displaystyle{ A_{1}\beta_{1}^{n}+A_{2}\beta_{2}^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \beta_{1}}\) i \(\displaystyle{ \beta_{2}}\) są pierwiastkami równania jednorodnego to rozwiązanie szczególne będzie postaci
\(\displaystyle{ C_{3}\cdot \beta_{1}^{n} \cdot n+ C_{4}\cdot \beta_{2}^{n} \cdot n}\)
gdyby bety nie były pierwiastkami to nie mnożylibyśmy przez \(\displaystyle{ n}\).
Ostatecznie otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ a_{n}=C_{1}\cdot \left( 2i \right) ^{n}+C_{2}\cdot \left( -2i \right) ^{n}+C_{3}\cdot \left( 2i \right) ^{n} \cdot n+ C_{4}\cdot \left( -2i \right) ^{n} \cdot n}\)
Pozostaje uprościć i wyliczyć odpowiednie współczynniki korzystając z warunków początkowych.
p.s. Mam nadzieje, że nie ma żadnych literówek.
\(\displaystyle{ a_{n+2}=-4a_{n}+f \left( n \right)}\)
więc najpierw rozwiązujesz równanie jednorodne
\(\displaystyle{ a_{n+2}=-4a_{n}}\)
r. charakterystyczne \(\displaystyle{ x^{2}=-4}\) skąd \(\displaystyle{ x_{1}=2i, x_{2}=-2i}\)
skąd dostajemy \(\displaystyle{ a_{n}^{o}=C_{1}\cdot \left( 2i \right) ^{n}+C_{2}\cdot \left( -2i \right) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ f \left( n \right) =-2^{n+3}\cdot \cos \left( \frac{n\pi}{2} \right)}\)
musimy teraz zamienić kosinusa na postać zespoloną (za chwilę dlaczego), dostajemy
\(\displaystyle{ f \left( n \right) =-2^{n+2}\left( e^{-\frac{i\pi\cdot n }{2}}+e^{\frac{i\pi\cdot n }{2}} \right)=-4\cdot \left( 2e^{-\frac{i\pi}{2}} \right) ^{n}-4\cdot \left( 2e^{\frac{i\pi}{2}} \right) ^{n}=\\
-4\cdot \left( -2i \right) ^{n}-4\cdot \left( 2i \right) ^{n}}\)
i już widzimy dlaczego ta zamiana była potrzebna. Ponieważ \(\displaystyle{ f \left( n \right)}\) jest sumą dwóch funkcji wykładniczych, czyli jest postaci \(\displaystyle{ A_{1}\beta_{1}^{n}+A_{2}\beta_{2}^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \beta_{1}}\) i \(\displaystyle{ \beta_{2}}\) są pierwiastkami równania jednorodnego to rozwiązanie szczególne będzie postaci
\(\displaystyle{ C_{3}\cdot \beta_{1}^{n} \cdot n+ C_{4}\cdot \beta_{2}^{n} \cdot n}\)
gdyby bety nie były pierwiastkami to nie mnożylibyśmy przez \(\displaystyle{ n}\).
Ostatecznie otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ a_{n}=C_{1}\cdot \left( 2i \right) ^{n}+C_{2}\cdot \left( -2i \right) ^{n}+C_{3}\cdot \left( 2i \right) ^{n} \cdot n+ C_{4}\cdot \left( -2i \right) ^{n} \cdot n}\)
Pozostaje uprościć i wyliczyć odpowiednie współczynniki korzystając z warunków początkowych.
p.s. Mam nadzieje, że nie ma żadnych literówek.