iloczyn funkcji trworzących

[smieja]

Oblicz współczynniki funkcji tworzącej, będącej iloczynem
\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{ \infty }z ^{n} \right) \left( \sum_{n=0}^{ \infty }n z ^{n} \right)}\). Jaka to funkcja?

\(\displaystyle{ G(z)= \sum_{n=0}^{ \infty } z ^{n}}\)
\(\displaystyle{ H(z) = \sum_{n=0}^{ \infty }n z ^{n}}\)

\(\displaystyle{ G(z) = \sum_{n=0}^{ \infty } V _{n} z ^{n}}\)
\(\displaystyle{ V _{n} = \sum_{k=0}^{n} 1 \left( n-k\right) = \frac{n(n+1) }{2}}\)

\(\displaystyle{ G(z) = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n (n+1) }{2} z ^{n}}\)

współczynniki wynoszą więc
\(\displaystyle{ a _{n} = \frac{n(n+1)}{2}}\)

Dobrze myślę? Jak znaleźć funkcję tworzącą tego ciągu?

[nieOna3]

\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{ \infty }z ^{n} \right) \left( \sum_{n=0}^{ \infty }n z ^{n} \right)=
\frac{1}{1-z} \cdot z \sum_{n=0}^{\infty} nz ^{n-1} = \frac{z}{1-z} \left( \sum_{n=0}^{\infty}z ^{n} \right)' = \frac{z}{1-z}\left( \frac{1}{1-z} \right)' = \frac{z}{\left( 1-z\right) ^{3} }}\)
Rozkładając na ułamki proste dostaniemy
\(\displaystyle{ \frac{z}{\left( 1-z\right) ^{3} } = \frac{-1}{\left( 1-z\right) ^{2} } + \frac{1}{\left( 1-z\right) ^{3} } = - \frac{1}{\left( 1-z\right) ^{2} } + \frac{1}{2} \frac{2}{\left( 1-z\right) ^{3} } =
-\left( \frac{1}{1-z} \right) '+ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-z} \right) ''= -
\left( \sum_{n=0}^{\infty}z ^{n} \right) '+ \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty}z ^{n} \right) ''=
-\sum_{n=0}^{\infty}nz ^{n-1} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}n\left( n-1\right) z ^{n-2} =\sum_{n=0}^{\infty}-\left( n+1\right) z ^{n} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left( n+2\right) \left( n+1\right) z^{n} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2} n\left( n+1\right) z ^{n}}\)

Mam nadzieję, że nigdzie nie oszukałam
( pokazałam innym sposobem, że dobrze myślisz )