Rozmieszczenie kul w komórkach

[pro177]

Witam!
Mam problem z poniższym zadaniem, mam nadzieję że znajdzie się ktoś kto pomoże je rozwiązać.

Treść:
Na ile wszystkich sposobów (różnych) można rozmieścić k ponumerowanych kul w n ponumerowanych komórkach tak, aby:
a) dokładnie jedna komórka była zajęta
b) dokładnie 2 komórki były zajęte
c) dokładnie 3 komórki były zajęte

Pozdrawiam,
pro177

[norwimaj]

Ale punkt a) to chyba zrobisz sam? Na ile sposobów można władować wszystkie kule do jednej komórki, jeśli jest \(\displaystyle{ n}\) komórek?

[Kanodelo]

Wrzucam swoje rozwiązanie, nie wiem czy to jest dobrze, a może ktoś mógł by to sprawdzić.

Ukryta treść:    

a) Żeby jedna komórka była zajęta, to musi być jedna kula w jednej komórce, a pozostałe wolne. Żeby wybrać jedną kulę jest \(\displaystyle{ k}\) możliwości, a ta kula może stać w \(\displaystyle{ n}\) różnych miejscach, czyli razem \(\displaystyle{ n \cdot k}\) możliwości

b) Muszą być 2 komórki zajęte i reszta wolne. 2 komórki wybieramy na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów, ale jeszcze musimy z \(\displaystyle{ k}\) kul wybrać dwie, co możemy uczynić na \(\displaystyle{ {k \choose 2}}\) sposobów. Ostatecznie \(\displaystyle{ {n \choose 2} \cdot {k \choose 2}}\)

c) Robimy tak samo jak b) tylko że 3 możliwości w każdym, czyli \(\displaystyle{ {n \choose 3} \cdot {k \choose 3}}\)

Jeżeli pisze głupoty to przepraszam.

[norwimaj]

Jeżeli pisze głupoty to przepraszam.

Wybaczam. To częsty błąd niestety, chociaż nie spodziewałem się że da się go zrobić nawet w pierwszym punkcie tego zadania.-- 5 cze 2012, o 11:03 --Zresztą nie wiem nawet czy w ten sam sposób rozumiemy treść. Umieszczamy w komórkach wszystkie \(\displaystyle{ k}\) kul, a nie tylko jedną, dwie, trzy.

[Kanodelo]

A no chyba że o to chodzi, bo ja myślałem, że w jednej komórce możemy umieścić tylko jedną kulę.
Czyli w podpunkcie a) w jednej komórce może być dokładnie \(\displaystyle{ k}\) kul, czyli jest \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Chociaż nie wiem czy to by nie było za proste, bo może chodzi o to, że w jednej komórce może być jedna kula albo 2 albo 3... i tak dalej, aż do \(\displaystyle{ n}\)

[norwimaj]

Tak właśnie rozumiem treść, że w pierwszym jest \(\displaystyle{ n}\) sposobów.

Przy Twoim poprzednim rozumieniu treści masz złe wyniki w b) i c), bo trzeba jeszcze pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2!}\) i \(\displaystyle{ 3!}\) odpowiednio.

[Kanodelo]

Przy Twoim poprzednim rozumieniu treści masz złe wyniki w b) i c), bo trzeba jeszcze pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2!}\) i \(\displaystyle{ 3!}\) odpowiednio.

A rzeczywiście, bo nie uwzględniłem tego, że komórki mogą stać w różnej kolejności..

A zakładając, że w podpunkcie a) jest \(\displaystyle{ n}\) sposobów, to w podpunkcie b) jest \(\displaystyle{ n \cdot 2^k}\)?

[norwimaj]

Nie. W b) jest \(\displaystyle{ \binom n2 \cdot (2^k-2)}\).