Wyznacz funkcje tworzące następującego ciągu:
\(\displaystyle{ a)s_{n}=1^{2}+2^{2}+...+(n+1)^{2}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge0}\)
Funkcje tworzące ciągów
-
damian18833
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 12 wrz 2009, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 16 razy
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Funkcje tworzące ciągów
Skorzystaj z następujących faktów:
\(\displaystyle{ s_{n}=1^{2}+2^{2}+...+(n+1)^{2} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = \frac{1}{3}n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{13}{6}n+1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} nx^n = \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} n^2x^n = \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{3}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} n^3x^n = \frac{6}{(1-x)^4} - \frac{12}{(1-x)^3} + \frac{7}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x}}\)
Gdyby coś było niejasne, to mogę udowodnić.
\(\displaystyle{ s_{n}=1^{2}+2^{2}+...+(n+1)^{2} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = \frac{1}{3}n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{13}{6}n+1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} nx^n = \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} n^2x^n = \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{3}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} n^3x^n = \frac{6}{(1-x)^4} - \frac{12}{(1-x)^3} + \frac{7}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x}}\)
Gdyby coś było niejasne, to mogę udowodnić.