funkcja tworząca - na ile sposobow mozna kupic

[supeextra5]

Witam, mam problem z następującym zadaniem

Na ile sposobów mozna kupic 20 litrów soku jesli w sklepie jest sok pomaranczowy oraz
grejpfrutowy w opakowaniach po 1l i 2l oraz 5 opakowan 2 litrowych soku jabłkowego.

Wydaje się proste, ale mam kilka pytań.

20 litrów:
Czyli w myśl schematu:
1l pomaranczoego \(\displaystyle{ = 1+x+x^2+x^3...+x^{20}}\)
1l grej \(\displaystyle{ = 1+x+x^2+x^3...+x^{20}}\)
2l pom i grej analogicznie \(\displaystyle{ = (1 + x^2 + x^4 + ... x^{20})^2}\) - juz zapisałem razem[/latex]

Teraz 5 opakowac soku jabłkowego po 2l

\(\displaystyle{ 1 + x^2 + .... + x^{10}}\)

i jak teraz zrobić funkcje tworzące?

Czy to będzie z geomerytcznego wszystkie?
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{(1-x)^2} \frac{1}{(1-x^2)^2} \frac{1}{(1-x^2)}}\)
I jak wpływa na zadanie to, że tego jabłkowego jest tylko 5 opakowan?

[ksisquare]

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{5}x^{2j}}\) jabłkowego nie sumujesz w nieskończoność, nie możesz napisać \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x^2}}\)

[johanneskate]

Rozumiem fakt niesumowania w nieskończonośc jabłkowego. Jak dojść do ostatecznego wyniku? Mam te w nieskończone ciągi i jeden skończony i co z nimi?

[TMac]

Funkcja tworząca jest taka: \(\displaystyle{ \left( 1 + x^2 + .... + x^{10}\right) \cdot \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{2} }}\)
Musisz wymnożyc i sprawdzić co stoi przy \(\displaystyle{ x^{20}}\). Wygląda na dużo liczenia, ale na \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{2} }}\) jest wzór, więc idzie dosyć szybko.

[ReversedNabla]

Witam, mam analogiczne zadanie:
Na ile sposobów można kupić 50 litrów soku, jeśli są dostępne opakowania 1 litrowe, 2 litrowe
oraz 4 litrowe.

1litrowe opakowania: \(\displaystyle{ A(x) = 1+x+x^2+...+x^{50} = \sum_{i=0}^{50}x^{i}}\)

2litrowe opakowania: \(\displaystyle{ B(x) = 1+x^2+x^4...+x^{50} = \sum_{j=0}^{25}x^{2j}}\)

4litrowe opakowania: \(\displaystyle{ C(x) = 1+x^4+x^8 +...+x^{48} = \sum_{k=0}^{12}x^{4k}}\)

Teraz wystarczy to wymnożyć i odczytać współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{50}}\).

Jednak tak jak w było już wspomniane nie mogę zapisać tego geometrycznie (bo nie sumuje przecież do nieskończoności), a wymnażanie tego z rozwiniętego wzoru jest za bardzo czasochłonne i chyba nie o to chodzi w zadaniu. Czy ktoś mógłby mi dać wskazówkę jak to ruszyć, ewentualnie rozpisać krok początkowy?-- 4 cze 2016, o 22:21 --W sumie uznałem, że można to zrobić bardziej ogólniej, zakładając, że mam nieograniczoną ilość opakowań, a potem sprawdzić współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{50}}\).

Wtedy ten iloczyn to:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{1-x}\right) \left( \frac{1}{1-x^2}\right) \left( \frac{1}{1-x^4}\right) = \left( \frac{1}{1-x}\right) \left( \frac{1}{1-x^2}\right) \left( \frac{1}{1-x^4}\right) * \frac{\left( 1+x\right) \left( 1+x\right)^{2} }{\left( 1+x\right) \left( 1+x\right)^{2} }}\)
Co po wymnożeniu daje:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+x\right) \left( 1+x\right)^{2} }{\left( 1-x^4\right)^3 } = (1+x)(1+2x^2+x^4) \sum_{n=0}^{ \infty } {n+2 \choose n}x^{4n}}\)
\(\displaystyle{ = (1+x+2x^2+2x^3+x^4+x^5) \sum_{n=0}^{ \infty } {n+2 \choose n}x^{4n}}\)

Z pierwszego nawiasu przed sumą można uzyskać od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ x^5}\):
wybierając n = 11 dostajemy \(\displaystyle{ x^{44}}\) do \(\displaystyle{ x^{49}}\)
wybierając n = 12 dostajemy \(\displaystyle{ x^{48}}\) do \(\displaystyle{ x^{53}}\)
wybierając n = 13 dostajemy \(\displaystyle{ x^{52}}\) do \(\displaystyle{ x^{57}}\)

więc jedynie dla n = 12 dostaniemy jakiś współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{50}}\), i dla n = 12, z dwumiany otrzymujemy 13 * 14 / 2 razy jeszcze 2 którą otrzymamy z nawiasu przed sumą, więc odpowiedź to 13 * 14 = 182.

Czy to jest poprawny sposób?