Kombinacja, skad sie wziely takie liczby w ulamku?

[dawid320]

Witam. Właśnie uczę się kombinatoryki od całkowitego zera(około godziny temu nie umiałem kompletnie nic). Teorię poznałem, przeszedłem do zadań. Napotkałem na zadanie z kombinacji i nie mogę dojść ską się pare rzeczy wzięło:

Iloma sposobami można rozdzielić cztery jednoosobowe zaproszenia między dziesięć osób?

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ C^4_{10} = {10\choose 4} = \frac{10!}{ 4!(10-4)! } = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6! } = 7 \cdot 3 \cdot 10 = 210}\)

I nie rozumie tego:
\(\displaystyle{ \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6! } = 7 \cdot 3 \cdot 10 = 210}\)

Jak się wzięło to u góry, oraz to na dolę, skąd po równaniu \(\displaystyle{ 7 \cdot 3 \cdot 10}\)? Nie umie tego zrozumieć..

[lemoid]

\(\displaystyle{ 6!}\) się skraca-- 31 maja 2012, o 23:10 --\(\displaystyle{ \frac{10!}{4!6!} = \frac{ 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 } = \frac{ 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{ 3 \cdot 8} = 7 \cdot 3 \cdot 10 = 210}\)

[Marcinek665]

Powiadasz, że chcesz całkowicie od podstaw. No to tak:

Sprawdźmy, na ile sposobów możemy przyporządkować te zaproszenia dla danej tych \(\displaystyle{ 4}\) osób. Pierwsze zaproszenie bierze dowolna osoba, co czyni na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów (bo \(\displaystyle{ 10}\) zaproszeń). Kolejna osoba bierze jedno z \(\displaystyle{ 9}\) zaproszeń (czyli na \(\displaystyle{ 9}\) sposobów), trzecia jedno z \(\displaystyle{ 8}\) zaproszeń i w końcu czwarta jedno z pozostałych \(\displaystyle{ 7}\) zaproszeń.

Mamy zatem, że można takich przyporządkowań zrobić \(\displaystyle{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}\). Treść zadania sugeruje jednak, że nie jest istotna kolejność zaproszeń, więc musimy jeszcze podzielić otrzymaną liczbe przez \(\displaystyle{ 4!}\), bo tyle jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ 4}\) elementowego (\(\displaystyle{ 4}\) listy). Czyli:

\(\displaystyle{ \boxed{\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!} = 210}}\)

[dawid320]

Dziękuje Wam. Bardzo mi pomogliście. Pozdrawiam.