Równanie rekurencyjne jednorodne - warunki początkowe

[d_adam]

Witam.
Piszę z takim problemem.

Mam równanie
\(\displaystyle{ f_{n+2} -9f_n =0}\)
\(\displaystyle{ f _{1}=0}\)
\(\displaystyle{ f _{2}=-1}\)

\(\displaystyle{ z^{2} -9=0}\)
\(\displaystyle{ (z-3)(z+3)=0}\)
\(\displaystyle{ z _{1} =3}\)
\(\displaystyle{ z _{2} =-3}\)

\(\displaystyle{ f _{n} = C_1 \cdot 3 ^{n} + C_2 \cdot (-3) ^{n}}\)
Wykorzystujemy warunki początkowe

\(\displaystyle{ f _{1} =0}\)
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ C_1 \cdot 3 ^{1} + C_2 (-3) ^{1} =0}\)

\(\displaystyle{ f _{2} =-1}\)
\(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ C1 \cdot 3 ^{2} + C2 (-3) ^{2} =-1}\)

I potem rozwiązanie równania:
\(\displaystyle{ C_1=C_2 \\
C_1 = -\frac{1}{18}}\)

Nigdy wszystko jest jasne, oprócz jednego elementu: za n podstawiamy 1 oraz 2. Dlaczego?
W jednym zadaniu podstawiamy 0 i 1, a w innym 1 i 2. Czy to jest obojętne? Od czego zależy?
Wyniki wychodzą oczywiście inne.

Proszę o pomoc.
Dziękuje
Pozdrawiam,
Adam

[justyskaf]

Współczynniki \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) zależą od warunków początkowych. Raz może być od \(\displaystyle{ f_0}\) a innym razem od \(\displaystyle{ f_1}\), zależy jak jest w zadaniu zdefiniowane. Masz \(\displaystyle{ f_n=C_1\cdot a^n+C_2\cdot b^n}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b}\) są pierwiastkami równania.
Po prostu podstawiasz taką liczbę \(\displaystyle{ n}\), która stoi przy danym \(\displaystyle{ f}\), bo tak jest zdefiniowany n-ty wyraz ciągu