Liczba
\(\displaystyle{ {101\choose 51} + {101\choose 52} + {101\choose 53} + ... + {101\choose 101}}\)
równa jest:
a) 2^100
b) 2^101
c) 2100
d) 2101
Domyślam się, że c) i d) odpadają, ale nie wiem jak dalej ugryźć
suma kolejnych dwumianów newtona??
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
suma kolejnych dwumianów newtona??
Korzystając z tego, że
\(\displaystyle{ {n\choose k}={n\choose n-k}}\)
łatwo otrzymać, że
\(\displaystyle{ {101\choose 51}+{101\choose 52}+...+{101 \choose 101}={101\choose 50}+{101\choose 49}+...+{101\choose 0}}\)
a z 2 strony wiemy, że
\(\displaystyle{ {101\choose 0}+{101\choose 1}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}=2^{101}}\)
i z tego skorzystamy
\(\displaystyle{ {101\choose 0}+{101\choose 1}+...+{101\choose 50}+{101\choose 51}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}=2^{101}\\{101\choose 51}+{101\choose 52}+...+{101 \choose 101}+{101\choose 51}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}=2^{101}\\2\left[{101\choose 51}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}\right]=2^{101}\\{101\choose 51}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}=2^{100}}\)
\(\displaystyle{ {n\choose k}={n\choose n-k}}\)
łatwo otrzymać, że
\(\displaystyle{ {101\choose 51}+{101\choose 52}+...+{101 \choose 101}={101\choose 50}+{101\choose 49}+...+{101\choose 0}}\)
a z 2 strony wiemy, że
\(\displaystyle{ {101\choose 0}+{101\choose 1}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}=2^{101}}\)
i z tego skorzystamy
\(\displaystyle{ {101\choose 0}+{101\choose 1}+...+{101\choose 50}+{101\choose 51}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}=2^{101}\\{101\choose 51}+{101\choose 52}+...+{101 \choose 101}+{101\choose 51}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}=2^{101}\\2\left[{101\choose 51}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}\right]=2^{101}\\{101\choose 51}+...+{101\choose 100}+{101\choose 101}=2^{100}}\)