Płaszczyzna i punkty

[mol_ksiazkowy]

Danych jest \(\displaystyle{ 2n}\) różnych punktów: \(\displaystyle{ n}\) białych i \(\displaystyle{ n}\) czarnych. Żadne trzy z nich nie sa współliniowe. Udowodnić, ze można tak narysować \(\displaystyle{ n}\) odcinków o końcach w danych \(\displaystyle{ 2n}\) punktach, aby były one różnokolorowe i aby nie przecinały się one ze sobą.

[Ponewor]

Ukryta treść:    

Połączyć różnokolorowe punkty w pary możemy na pewną skończoną ilość sposobów. Skoro skończoną, to istnieje połączenie przy którym suma długości narysowanych odcinków jest najmniejsza. Otóż twierdzę, że wówczas odcinki się nie przecinają. Gdyby bowiem dla białych punktów \(\displaystyle{ A, C}\) i czarnych \(\displaystyle{ B, \ D}\) odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinały się, wówczas oznaczymy punkt przecięcia jako \(\displaystyle{ X}\) i z nierówności trójkąta mamy:
\(\displaystyle{ AX+DX>AD}\) oraz \(\displaystyle{ BX+CX>BC}\)
co po zsumowaniu daje nam \(\displaystyle{ AB+CD>AD+BC}\)
co daje sprzeczność, bo nasze sparowanie punktów miało dawać najmniejszą sumę długości odcinków.

[Jakub Gurak]

Ukryta treść:    

co daje sprzeczność, bo nasze sparowanie punktów miało dawać najmniejszą sumę długości odcinków.

Chyba nie do końca.
Suma wszelkich dlugości odcińków miała być najmniejsza, a nie tylko dwóch odcinków.

[Ponewor]

Ale pozostałe odcinki są bez zmian. Ich długości można dodać do obu stron nierówności.

[Jakub Gurak]

Ok, teraz już w porządku.