[Dwumian Newton'a] Wykazac ze ...

[kolanko]

Wykazac, że ...
\(\displaystyle{ {n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n}=2^{n}}\)


Z gory thx

[Lorek]

Było...\(\displaystyle{ 2^{n}}\) razy
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n {n\choose k} a^{n-k}b^k\\{n\choose 0}+...+{n\choose n}=\sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}1^{n-k}1^k=(1+1)^n}\)

[kolanko]

Hmm prosciej sie nie da ... ?

[Lorek]

Niby jak? Tak jest najprościej.

[kolanko]

Z deka inaczej tak lopatologicznie sie nie da ? plz

[Lorek]

Hmm na upartego to można indukcyjnie, jak Ci to nie podchodzi
\(\displaystyle{ n=0\\L={0\choose 0}=1=2^0=P}\)
Zał.
\(\displaystyle{ {n\choose 0}+{n\choose 1}+...+{n\choose n}=2^n}\)
Teza
\(\displaystyle{ {n+1\choose 0}+{n+1\choose 1}+...+{n+1\choose n}+{n+1\choose n+1}=2^{n+1}}\)
Dowód: skorzystamy z tego, że
\(\displaystyle{ {n\choose 0}={n+1\choose 0} \:\wedge\: {n\choose n}={n+1\choose n+1}}\)
oraz
\(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}}\)
czyli z tego 2 mamy
\(\displaystyle{ {n+1\choose 1}={n\choose 0}+{n\choose 1}\\{n+1\choose 2}={n\choose 1}+{n\choose 2}\\\\...\\\\{n+1\choose n}={n\choose n-1}+{n\choose n}}\)
a więc
\(\displaystyle{ {n+1\choose 0}+{n+1\choose 1}+...+{n+1\choose n}+{n+1\choose n+1}=\\={n\choose 0}+{n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 1}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n-1}+{n\choose n}+{n\choose n}=\\=2\left[{n\choose 0}+{n\choose 1}+...+{n\choose n-1}+{n\choose n}\right]=2\cdot 2^n=2^{n+1}}\)