rozwinięcie dwumianu
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
rozwinięcie dwumianu
Każdy wyraz rozwinięcia tego dwumianu wygląda tak:
\(\displaystyle{ a_k={10\choose k} \sqrt[3]{5}^{10-k}\cdot ft(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^k={10\choose k} 5^{\frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}}\cdot 2^{k}}\)
Aby była to liczba naturalna to na pewno musimy pozbyć się pierwiastków, czyli liczba
\(\displaystyle{ \frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}}\) musi być całkowita
\(\displaystyle{ \frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}=\frac{20-5k}{6}}\)
biorąc pod uwagę fakt, że \(\displaystyle{ k\in\{0,1,... 10\}}\) otrzymujemy liczby całkowite dla
\(\displaystyle{ k=4\to \frac{20-5k}{6}=0\\k=10\to \frac{20-5k}{6}=-5}\)
Dla k=4
\(\displaystyle{ a_4={10\choose 4} 5^0\cdot 2^4}\)
i jest to liczba naturalna, dla k=10
\(\displaystyle{ a_{10}={10\choose 10}5^{-5}\cdot 2^{10}}\)
i nie jest to liczba naturalna, więc szukany wyraz to
\(\displaystyle{ a_4={10\choose 4} 5^0\cdot 2^4}\)
\(\displaystyle{ a_k={10\choose k} \sqrt[3]{5}^{10-k}\cdot ft(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^k={10\choose k} 5^{\frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}}\cdot 2^{k}}\)
Aby była to liczba naturalna to na pewno musimy pozbyć się pierwiastków, czyli liczba
\(\displaystyle{ \frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}}\) musi być całkowita
\(\displaystyle{ \frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}=\frac{20-5k}{6}}\)
biorąc pod uwagę fakt, że \(\displaystyle{ k\in\{0,1,... 10\}}\) otrzymujemy liczby całkowite dla
\(\displaystyle{ k=4\to \frac{20-5k}{6}=0\\k=10\to \frac{20-5k}{6}=-5}\)
Dla k=4
\(\displaystyle{ a_4={10\choose 4} 5^0\cdot 2^4}\)
i jest to liczba naturalna, dla k=10
\(\displaystyle{ a_{10}={10\choose 10}5^{-5}\cdot 2^{10}}\)
i nie jest to liczba naturalna, więc szukany wyraz to
\(\displaystyle{ a_4={10\choose 4} 5^0\cdot 2^4}\)