Liczby stirlinga z sumami i strasznie niejasny dowód

[Rostworowski]

Witam, chciałbym się z Wami podzielić tym oto nieciekawym zadaniem:

Proszę udowodnić, że

a)

\(\displaystyle{ x^n = \sum_{k}^{} S(n,k) x^\underline k

gdzie n \in N x \in R}\) a \(\displaystyle{ S(n,k)}\) to liczba stirlinga drugiego rodzaju

b)

\(\displaystyle{ x^{\overline{ n}} = \sum_{k}^{} C(n,k) x ^ k

gdzie n \in N x \in R}\) a \(\displaystyle{ C(n,k)}\) to liczba stirlinga pierwszego rodzaju

proszę Was serdecznie o szybką pomoc:)

[JakimPL]

Hm, próbowałeś indukcyjnie? To narzucający się sposób z racji, iż nie dysponujemy prostym wzorem jawnym na liczby Stirlinga.

[Rostworowski]

A jak niby mam to zrobić? Nawet nie wyobrażam sobie przeprowadzenia tego dowodu.

A, jeszcze dodam, iż można wykorzystać rekurencję liczb stirlinga.

[JakimPL]

Mamy pokazać, iż:

\(\displaystyle{ x^n = \sum _{k=1}^n \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} x^{\underline{k}}}\)

Sprawdzimy, czy zachodzi dla \(\displaystyle{ n=1}\):

\(\displaystyle{ x = \left\{\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right\} x = 1 \cdot x}\)

Zgadza. Sprawdzamy krok indukcyjny.

\(\displaystyle{ x^{n+1} = \sum _{k=1}^{n+1} \left\{\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right\} x^{\underline{k}}}\)

Wyciągnę \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ x^{n+1} = x \sum _{k=1}^{n+1} \left\{\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right\} (x-1)^{\underline{k-1}}}\)

\(\displaystyle{ x^n = \sum _{k=1}^{n+1} \left\{\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right\} (x-1)^{\underline{k-1}}}\)

Pozostaje tylko pokazać, iż suma wejściowa jest równa wyjściowej.