Ratunku! Czy ktoś potrafi rozwiązać takie coś?:(
1.Rozszerzamy definicję współczynnika dwumianowego na górny indeks rzeczywisty w następujący sposób:\(\displaystyle{ $$\binom{x}{k}= \frac{x(x-1)(x-2)\dots (x-k+1)}{k!}$$}\) , gdy x należy do zbioru licz rzeczywistych a k do zbioru liczb naturalnych. Udowodnić że:
a) \(\displaystyle{ $$\binom{-4}{n}=(-1)^n\binom{n+3}{n}$$}\)
b) \(\displaystyle{ $$(-1)^m \binom{-n-1}{m}=(-1)^n \binom{-m-1}{n}$$}\)
c) \(\displaystyle{ $$\binom{-\frac{1}{2}}{n}=\left(-\frac{1}{4} \right)^n \binom{2n}{n}$$}\)[/quote]
Współczynnik dwumianowy
- Paylinka07
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 27 kwie 2012, o 09:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
- Paylinka07
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 27 kwie 2012, o 09:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Współczynnik dwumianowy
Ale dokładnie które? Mógłbyś pokazać jeden przykład? Będzie mi wtedy łatwiej
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Współczynnik dwumianowy
a)
\(\displaystyle{ \binom{-4}{n} = (-1)^n\binom{n+3}{n}}\)
Przekształcam to równoważnie:
\(\displaystyle{ \binom{-4}{n} = (-1)^n\binom{n+3}{n} \\
\frac{-4\cdot(-5) \cdot(-7)\dots (-n-3)}{n!} = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{n! \cdot 3!} \\
-4\cdot(-5) \cdot(-7)\dots (-n-3) = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{ 3!} \\
(-1)^n \cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{ \cdot 3!} \\
\cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = \frac{(n+3)!}{ \cdot 3!} \\
\cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = \cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3)}\)
A to ostatnie to już prawda.
\(\displaystyle{ \binom{-4}{n} = (-1)^n\binom{n+3}{n}}\)
Przekształcam to równoważnie:
\(\displaystyle{ \binom{-4}{n} = (-1)^n\binom{n+3}{n} \\
\frac{-4\cdot(-5) \cdot(-7)\dots (-n-3)}{n!} = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{n! \cdot 3!} \\
-4\cdot(-5) \cdot(-7)\dots (-n-3) = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{ 3!} \\
(-1)^n \cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{ \cdot 3!} \\
\cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = \frac{(n+3)!}{ \cdot 3!} \\
\cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = \cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3)}\)
A to ostatnie to już prawda.
- Paylinka07
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 27 kwie 2012, o 09:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Współczynnik dwumianowy
Mam problem z przykładem c. Nie wychodzi mi. Czy mógłby ktoś podesłać jak powinno to wyglądać?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Współczynnik dwumianowy
Spróbuj najpierw przekształcić do postaci
\(\displaystyle{ \binom{-\frac{1}{2}}{n}=\left(-\frac{1}{2} \right)^n\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!}}\)
a potem zobacz, co jeszcze trzeba dopisać, aby otrzymać \(\displaystyle{ \binom{2n}n}\).
\(\displaystyle{ \binom{-\frac{1}{2}}{n}=\left(-\frac{1}{2} \right)^n\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!}}\)
a potem zobacz, co jeszcze trzeba dopisać, aby otrzymać \(\displaystyle{ \binom{2n}n}\).