Współczynnik dwumianowy

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Paylinka07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 27 kwie 2012, o 09:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 2 razy

Współczynnik dwumianowy

Post autor: Paylinka07 »

Ratunku! Czy ktoś potrafi rozwiązać takie coś?:(

1.Rozszerzamy definicję współczynnika dwumianowego na górny indeks rzeczywisty w następujący sposób:\(\displaystyle{ $$\binom{x}{k}= \frac{x(x-1)(x-2)\dots (x-k+1)}{k!}$$}\) , gdy x należy do zbioru licz rzeczywistych a k do zbioru liczb naturalnych. Udowodnić że:

a) \(\displaystyle{ $$\binom{-4}{n}=(-1)^n\binom{n+3}{n}$$}\)
b) \(\displaystyle{ $$(-1)^m \binom{-n-1}{m}=(-1)^n \binom{-m-1}{n}$$}\)
c) \(\displaystyle{ $$\binom{-\frac{1}{2}}{n}=\left(-\frac{1}{4} \right)^n \binom{2n}{n}$$}\)[/quote]
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Współczynnik dwumianowy

Post autor: bartek118 »

Wystarczy odpowiednie symbole rozpisać z podanej definicji.
Awatar użytkownika
Paylinka07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 27 kwie 2012, o 09:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 2 razy

Współczynnik dwumianowy

Post autor: Paylinka07 »

Ale dokładnie które? Mógłbyś pokazać jeden przykład? Będzie mi wtedy łatwiej
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Współczynnik dwumianowy

Post autor: bartek118 »

a)

\(\displaystyle{ \binom{-4}{n} = (-1)^n\binom{n+3}{n}}\)

Przekształcam to równoważnie:

\(\displaystyle{ \binom{-4}{n} = (-1)^n\binom{n+3}{n} \\
\frac{-4\cdot(-5) \cdot(-7)\dots (-n-3)}{n!} = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{n! \cdot 3!} \\
-4\cdot(-5) \cdot(-7)\dots (-n-3) = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{ 3!} \\
(-1)^n \cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = (-1)^n \cdot \frac{(n+3)!}{ \cdot 3!} \\
\cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = \frac{(n+3)!}{ \cdot 3!} \\
\cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3) = \cdot 4 \cdot 5 \dots (n+3)}\)

A to ostatnie to już prawda.
Awatar użytkownika
Paylinka07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 27 kwie 2012, o 09:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 2 razy

Współczynnik dwumianowy

Post autor: Paylinka07 »

Mam problem z przykładem c. Nie wychodzi mi. Czy mógłby ktoś podesłać jak powinno to wyglądać?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Współczynnik dwumianowy

Post autor: norwimaj »

Spróbuj najpierw przekształcić do postaci

\(\displaystyle{ \binom{-\frac{1}{2}}{n}=\left(-\frac{1}{2} \right)^n\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!}}\)

a potem zobacz, co jeszcze trzeba dopisać, aby otrzymać \(\displaystyle{ \binom{2n}n}\).
ODPOWIEDZ