Na ile sposobów możemy rozsadzić n spośród m osób

[micki22s]

Na ile sposobów możemy rozsadzić n spośród m osób przy okrągłym stole?

n osób możemy posadzić na (n-1)! sposobów, natomiast wybrać je na
\(\displaystyle{ {m \choose n}}\) sposobów. Pytanie co dalej?

[Marcinek665]

Nie napisałaś, ile miejsc ma ten stół, dlatego zakładam, że \(\displaystyle{ m}\) miejsc (tak jest najsensowniej).

Weźmy wobec tego dowolną z tych \(\displaystyle{ n}\) wybranych osób. Może ona usiąść na dowolnym miejscu z \(\displaystyle{ m}\) dostępnych. Kolejna osoba może usiąść na jednym z \(\displaystyle{ m-1}\) dostępnych miejsc itp. aż ostatnia z osób będzie mogła usiąść na jednym z \(\displaystyle{ m-n+1}\) dostępnych miejsc.

Łącznie daje nam to: \(\displaystyle{ \boxed{m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \ldots \cdot (m-n+1) = \frac{m!}{(m-n)!}}}\) możliwości.

[micki22s]

Wybieramy \(\displaystyle{ n}\) z pośród \(\displaystyle{ m}\) osób czyli \(\displaystyle{ n<m}\) i rozsadzam te \(\displaystyle{ n}\) wybranych osób, czyli wybrać możemy je na
\(\displaystyle{ \boxed{m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \ldots \cdot (m-n+1) = [m]_{n} }}}\) sposobów, teraz trzeba je rozsadzić:

\(\displaystyle{ ([m]_{n})([m]_{n}-1)...([m]_{n}-n+1)=}\)-- 28 maja 2012, o 21:23 --Dodaje rozwiązanie, może się komuś przyda:

Wybieramy z pośród \(\displaystyle{ m}\) osób czyli \(\displaystyle{ n<m}\) i rozsadzam te \(\displaystyle{ n}\) wybranych osób, czyli bierzemy jedną i sadzamy, potem koleją itd. i możemy to zrobić na sposobów:
\(\displaystyle{ \boxed{m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \ldots \cdot (m-n+1) = [m]_{n} }}}\)
ponieważ jest to okrągły stół musimy uwzględnić cykle:
jest więc \(\displaystyle{ n}\) miejsc, czyli \(\displaystyle{ n}\) cykli
Zatem mamy \(\displaystyle{ \frac{[m]_{n}}{n}}\) sposobów na rozsadzenie tych osób.