Cześć, przygotowuję się powoli do egzaminu w sesji z matematyki konkretnej i mam niesamowite problemy z usystematyzowaniem całej tej wiedzy. Na pierwszy ogień, niech pójdzie rozwiązywanie równań rekurencyjnych metodą czynnika sumacyjnego. Nie oczekuję suchego gotowca, wolała bym jakieś wytłumaczenie, WIDZIAŁAM na forum identyczny temat gdzie użytkownicy się wypowiadali i objaśniali metodę, ale akurat poniższy przykład sprawia mi jakieś problemy.
\(\displaystyle{ \begin{cases} t_{0}=1 \\ nt_{n}=3t_{n-1}- \frac{1}{(n-1)!} \end{cases}}\)
Dobra, zgodnie ze wskazówkami które zostały już tu na forum udzielone, zaczynam.
\(\displaystyle{ a_{n}=n, b_{n}=3, c_{n}=- \frac{1}{(n-1)!}}\)
Mamy \(\displaystyle{ S_{n}= \frac{a_{n-1}*S_{n-1}}{b_{n}}}\) podstawiając do naszego przykładu, mamy:
\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{n^{n-1}}{n!}}\)
Dobrze podstawiłam ? Bodajże użytkownik abc666, wstawił wyraz w liczniku niezmieniony względem \(\displaystyle{ a_{n}}\), jako że był to ciąg stały i po prostu podniósł w jednym przykłądzie go do potęgi \(\displaystyle{ n-1}\), w mianowniku wytłumaczył że jest \(\displaystyle{ n!}\) (n silnia wyrazów). Zgodnie z jego sugestiami, postąpiłam tak jak wyżej może zauważyć.
Założmy że \(\displaystyle{ S_{n}}\) jest wykonane prawidłowo.
Do czego teraz mam dążyć ? Do wyliczenia \(\displaystyle{ T_{n}}\), co dalej z tym począć ?
Metoda czynnika sumacyjnego
-
abc666
Metoda czynnika sumacyjnego
Niestety źle jest policzony \(\displaystyle{ S_{n}}\).
Skoro
\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{a_{n-1}}{b_{n}}\cdot S_{n-1}}\)
to u nas dostaniemy
\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{n-1}{3}\cdot S_{n-1}=\frac{n-1}{3}\cdot \frac{a_{n-2}}{b_{n-1}} \cdot S_{n-2}=\frac{n-1}{3}\cdot \frac{n-2}{3} \cdot S_{n-2}=...=\frac{(n-1)!}{3^n}}\)
Teraz mnożymy nasze równanie przez obliczone \(\displaystyle{ S_{n}}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ nt_{n}\cdot \frac{(n-1)!}{3^n} =3t_{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{3^n} - \frac{1}{(n-1)!}\cdot \frac{(n-1)!}{3^n}\\
{\color{red}\frac{t_{n}\cdot n! }{3^{n}}}=\frac{t_{n-1}\cdot (n-1)! }{3^{n-1}}-\frac{1}{3^n}}\)
Teraz podstawiamy \(\displaystyle{ T_{n}}\) za wyraz zaznaczony na czerwono i otrzymujemy
\(\displaystyle{ T_{n}=T_{n-1}-\frac{1}{3^n}\\
T_{n}=T_{n-1}-\frac{1}{3^n}}\)
Teraz należy przedstawić \(\displaystyle{ T_{n}}\) w postaci sumy (w tym przykładzie będzie to suma ciągu geometrycznego). Po policzeniu sumy należy wrócić do podstawienia.
Skoro
\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{a_{n-1}}{b_{n}}\cdot S_{n-1}}\)
to u nas dostaniemy
\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{n-1}{3}\cdot S_{n-1}=\frac{n-1}{3}\cdot \frac{a_{n-2}}{b_{n-1}} \cdot S_{n-2}=\frac{n-1}{3}\cdot \frac{n-2}{3} \cdot S_{n-2}=...=\frac{(n-1)!}{3^n}}\)
Teraz mnożymy nasze równanie przez obliczone \(\displaystyle{ S_{n}}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ nt_{n}\cdot \frac{(n-1)!}{3^n} =3t_{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{3^n} - \frac{1}{(n-1)!}\cdot \frac{(n-1)!}{3^n}\\
{\color{red}\frac{t_{n}\cdot n! }{3^{n}}}=\frac{t_{n-1}\cdot (n-1)! }{3^{n-1}}-\frac{1}{3^n}}\)
Teraz podstawiamy \(\displaystyle{ T_{n}}\) za wyraz zaznaczony na czerwono i otrzymujemy
\(\displaystyle{ T_{n}=T_{n-1}-\frac{1}{3^n}\\
T_{n}=T_{n-1}-\frac{1}{3^n}}\)
Teraz należy przedstawić \(\displaystyle{ T_{n}}\) w postaci sumy (w tym przykładzie będzie to suma ciągu geometrycznego). Po policzeniu sumy należy wrócić do podstawienia.
-
sophiemarceau
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 15 maja 2012, o 17:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 14 razy
Metoda czynnika sumacyjnego
abc666, dziękuję za interwnecję mimo że to nie moj temat, ale się podczepię.
Czy może przyjąc za zasadę, że skoro przy obliczaniu \(\displaystyle{ S_{n}}\) otrzymam już iloraz \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n}}\) to mogę od razu napisać, bez rozpisywania \(\displaystyle{ S_{n-1}}\) symbol Newtona w liczniku i podnieść mianownik do liczby \(\displaystyle{ n}\) ?
Czy może przyjąc za zasadę, że skoro przy obliczaniu \(\displaystyle{ S_{n}}\) otrzymam już iloraz \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n}}\) to mogę od razu napisać, bez rozpisywania \(\displaystyle{ S_{n-1}}\) symbol Newtona w liczniku i podnieść mianownik do liczby \(\displaystyle{ n}\) ?
-
abc666
Metoda czynnika sumacyjnego
W tym przykładzie akurat tak wychodzi w innym może to wyglądać całkowicie inaczej.
-
sophiemarceau
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 15 maja 2012, o 17:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 14 razy
Metoda czynnika sumacyjnego
czy ktoś by mógł tak po ludzku wytłumaczyć te "cuda" ?
Nie jestem pewna co do metody rozwiazywania, chciała bym żebyście wskazali mi jedną drobną różnicę pomiędzy moim przykładem, tj. 298410.htm ( a raczej przykładem koleżanki) i przykładem 164444.htm
Dlaczego w jednym przy obliczaniu \(\displaystyle{ S_{n}}\), licznik został pomnożony przez silnię, mianownik został podniesiony do potęgi n-tej, a w drugim przykładzie cały ułamek do został podniesiony do potęgi n-1, na prawdę intryguję mnie to.
Nie za bardzo widzę różnicę pomiędzy tymi dwoma przykładami, no może oprócz tego że w jednym ciąg jest z literą \(\displaystyle{ n}\) a w drugim nie (wiem, że to pewnie Was śmieszy, takie bezsensowne dopatrywanie się podobieństw, ale ze względu na moje względnie małe pojęcie o matematyce, ratuję się czym mogę). W ogóle nie za bardzo "chwytam" ten cały temat, tj. jak otrzymujemy to \(\displaystyle{ S_{n}}\), oprócz tego że podstawiamy je do "wzoru"
Nie jestem pewna co do metody rozwiazywania, chciała bym żebyście wskazali mi jedną drobną różnicę pomiędzy moim przykładem, tj. 298410.htm ( a raczej przykładem koleżanki) i przykładem 164444.htm
Dlaczego w jednym przy obliczaniu \(\displaystyle{ S_{n}}\), licznik został pomnożony przez silnię, mianownik został podniesiony do potęgi n-tej, a w drugim przykładzie cały ułamek do został podniesiony do potęgi n-1, na prawdę intryguję mnie to.
Nie za bardzo widzę różnicę pomiędzy tymi dwoma przykładami, no może oprócz tego że w jednym ciąg jest z literą \(\displaystyle{ n}\) a w drugim nie (wiem, że to pewnie Was śmieszy, takie bezsensowne dopatrywanie się podobieństw, ale ze względu na moje względnie małe pojęcie o matematyce, ratuję się czym mogę). W ogóle nie za bardzo "chwytam" ten cały temat, tj. jak otrzymujemy to \(\displaystyle{ S_{n}}\), oprócz tego że podstawiamy je do "wzoru"