Metoda repertuaru

[sophiemarceau]

Witam,
poszukuję jakiegoś dobrego skryptu akademickiego by zrozumieć metodę repertuaru.
Oprócz pozycji "Matematyka konkretna", nic do ręki mi nie wpadło. Jeśli ktoś z Was posiada jakieś skrypty lub potrafił by pokazać na przykładzie, jak do tego podejść, była bym wdzięczna

[Qń]

A co dokładnie nie jest jasne w Matematyce konkretnej?

Q.

[sophiemarceau]

Nie rozumiem za bardzo tej metody pokazanej w tej książce. Na prawdę siedziałam nad nią trochę i akurat objaśnienie w niej, nie jest dla mnie "przystępne".

[Qń]

Spróbuj przejrzeć to:
258971.htm#p4758152

Q.

[sophiemarceau]

Widziałem, potrzebuję chyba "łopatologicznego" wyjaśnienia. Tak, krok po kroku, bo tam widać trochę "inny" poziom.

-- 16 maja 2012, o 02:30 --

Widzę że nikt się nie "kwapi" do udzielenia odpowiedzi, cóż pewnie dlatego że jest to dość pracochłonne. Jako że nie zauważyłam żeby gdziekolwiek (podkreślam, gdziekolwiek) sama metoda została w ogóle wytłumaczona, czuję się w obowiązku żeby opublikować na forum (korzystając z tzw. prawa cytatu) wyjaśnienie które znajdziecie z książce o której była mowa w tym wątku. Jako że pewne "przeskoki" pozostają dla mnie nadal niezrozumiałe, liczę że niektórzy forumowicze pomogą mi w zrozumieniu idei, pomagając przy tym innym.

Mając rekurencję daną wzorem:

\(\displaystyle{ R_{0}= \alpha;}\)
\(\displaystyle{ R_{n}= R_{n-1} - \beta + \gamma n}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\)

Rozwiązanie podanej rekurencji przedstawia się w postaci:

\(\displaystyle{ R_{n}= A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma}\)

gdzie \(\displaystyle{ A(n), B(n), C(n)}\) są współczynnikami zależącymi od ogólnych parametrów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma}\).

Metoda repertuaru każe nam spróbować wykorzystać jako \(\displaystyle{ R(n)}\) w tej rekurencji proste funkcje zmiennej \(\displaystyle{ n}\) w nadziei, że uda się nam znaleźć stałe parametry \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma}\) w przypadkach, w których rozwiązanie jest szczególnie łatwe.

UWAGA ! Gdyby ktoś potrafił, wytłumaczyć mi od tego momentu. Rozumiem że powinno się podstawiać za wybrane elementy odpowiednio \(\displaystyle{ 1, n}\) i \(\displaystyle{ n^{2}}\), ale moje obliczenia wskazują różne parametry od tych które pojawiły się w rozwiązaniu, w szczególności przy pierwszym i trzecim podstawieniu. Może po prostu nie znam się na prostych rzeczach, jednak spędziłam już sporo czasu i uważam że sama przez to nie przebrnę.

Przyjęcie \(\displaystyle{ R_{n}=1}\) wymusza \(\displaystyle{ \alpha=1, \beta=0, \gamma=0}\) (skąd to się wzięło ?) więc:

\(\displaystyle{ A_{n}=1}\) (to samo pytanie, skąd to się wzięło ?)

Przyjęcie \(\displaystyle{ R_{n}=n}\) wymusza \(\displaystyle{ \alpha=0, \beta=1, \gamma=0}\), (skąd to się wzięło ?)więc:

\(\displaystyle{ B_{n}=n}\) (to samo pytanie, skąd to się wzięło ?)

Przyjęcie \(\displaystyle{ R_{n}=n^2}\) wymusza \(\displaystyle{ \alpha=0, \beta=-1, \gamma=2}\), (skąd to się wzięło ?)więc:

\(\displaystyle{ 2C(n)-B(n)-n^2}\) (to samo pytanie, skąd to się wzięło ?)

skąd ostatecznie \(\displaystyle{ C(n)= \frac{n^2+n}{2}}\) (to samo pytanie, skąd to się wzięło ?)

Mogę liczyć na jakąś pomoc, przy wytłumaczeniu tych wszystkich kroków ?

[JakimPL]

Przyjęcie \(\displaystyle{ R_{n}=1}\) wymusza \(\displaystyle{ \alpha=1}\), \(\displaystyle{ \beta=0}\), \(\displaystyle{ \gamma=0}\).

Skoro ciąg jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\), to podstawiając \(\displaystyle{ R_0=\alpha=R_n=1}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \forall_n\ 1=1-\beta+n\gamma \Rightarrow \forall_n\ \beta = n\gamma}\)

Skoro \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) są stałymi parametrami, to są niezależne od \(\displaystyle{ n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy są równe zero. Nie wprost można pokazać to prosto, że jeżeli są różne od zera, to dla każdego \(\displaystyle{ n}\) iloraz \(\displaystyle{ \frac{\beta}{\gamma}}\) jest stały, co przeczy temu, że \(\displaystyle{ n}\) się zmienia.

A skoro tak, to wstawiając parametry:

\(\displaystyle{ 1= A(n)1 + B(n)\cdot 0 + C(n)\cdot 0 \Rightarrow A(n) = 1}\)

Dla drugiego ciągu równego \(\displaystyle{ R_n=n}\) (jak wstawimy za \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ 0}\), otrzymamy, że \(\displaystyle{ \alpha=R_0 = 0}\)) ze zwykłego przyrównania mamy:

\(\displaystyle{ \forall_n\n=n-1-\beta+\gamma n}\)

co daje:

\(\displaystyle{ \forall_n\ 1=n\gamma -\beta}\)

Funkcja stała nie może zależeć od \(\displaystyle{ n}\), więc \(\displaystyle{ \gamma=0}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ 1=-\beta}\) (tu jest błąd w cytowanym tekście)

Teraz wstaw to, co wiesz (wartości parametrów, \(\displaystyle{ R_n=n}\)) do głównego rozwiązania i wyznacz \(\displaystyle{ B(n)}\).

Niestety trzeci przypadek jest również opisany w przykładzie złymi parametrami. Mam nadzieję, że sama będziesz je wstanie wskazać.

Osobiście jestem zdania, iż ta metoda jest kiepska i bardzo ograniczona.

[sophiemarceau]

Osobiście to uważam że w ogóle jest nieprzydatna, ale mojego i Twojego zdania nie podziela mój prowadzący

-- 17 maja 2012, o 00:25 --

Up! Co masz na myśli mówiąc "złymi parametrami" ?

To jest jakies inne równanie które opisywało by rozwiązanie rekurencyjne, oprócz tego które zaprezentowałam, tj.

\(\displaystyle{ R_{n}=A(n)\alpha + B(b)\beta+C(n)\gamma}\) ?