Proszę znaleźć zwartą postać sumy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}\frac{ {m \choose k} }{ {n \choose k} }}\)
Proszę o pomoc w rozwiązaniu, ewentualnie wskazówkę
zwarta postać sumy
-
SzalonyMjut
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 24 kwie 2011, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
zwarta postać sumy
Oczywiście \(\displaystyle{ n\geqslant m}\), inaczej będziemy dzielić przez \(\displaystyle{ 0}\). Skorzystamy z własności:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m} {n-k \choose m-k}= {n+1 \choose m}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}\frac{ {m \choose k} }{ {n \choose k} }=\sum_{k=0}^{m}\frac{m!(n-k)!}{n!(m-k)!}=\frac{m!}{n!}\sum_{k=0}^{m}\frac{(n-k)!}{(m-k)!}}\)
Skoro:
\(\displaystyle{ {n-k \choose m-k}= \frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}}\)
to dopełniając, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{m!(n-m)!}{n!}\sum_{k=0}^{m}\frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}=\frac{m!(n-m)!}{n!}\sum_{k=0}^{m}{n-k \choose m-k}=\frac{m!(n-m)!}{n!}{n+1 \choose m}}\)
Reszta to formalność.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m} {n-k \choose m-k}= {n+1 \choose m}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}\frac{ {m \choose k} }{ {n \choose k} }=\sum_{k=0}^{m}\frac{m!(n-k)!}{n!(m-k)!}=\frac{m!}{n!}\sum_{k=0}^{m}\frac{(n-k)!}{(m-k)!}}\)
Skoro:
\(\displaystyle{ {n-k \choose m-k}= \frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}}\)
to dopełniając, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{m!(n-m)!}{n!}\sum_{k=0}^{m}\frac{(n-k)!}{(m-k)!(n-m)!}=\frac{m!(n-m)!}{n!}\sum_{k=0}^{m}{n-k \choose m-k}=\frac{m!(n-m)!}{n!}{n+1 \choose m}}\)
Reszta to formalność.