Jak rozwiązać zadania?

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
mateuszeksz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 10 maja 2012, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 5 razy

Jak rozwiązać zadania?

Post autor: mateuszeksz »

Witam

Niedługo podchodzę do kolokwium z matematyki dyskretnej. Niestety nie rozumiem nic i zwracam się z prośbą o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań i wytłumaczeniu krok po kroku jak rozwiązać. Będę wdzięczny za każdą pomoc. Z góry dziękuje

Oto zadania z przykładowego kolokwium:

1. Wykazać indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left( 4k-1\right)=n\left( 2n+1\right)}\)
2. Wyznaczyć liczbę naturalną n taką, że:
\(\displaystyle{ {n+2 \choose n}=2n+7}\)
3. Ośmiu kolegów postanowiło zagrać w piłkę. Przed rozpoczęciem gry muszą podzielić się na dwa czteroosobowe zespoły. Na ile sposobów mogą dokonać takiego podziału?
4. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 100 000, których suma cyfr jest równa 8?
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Jak rozwiązać zadania?

Post autor: octahedron »

1. Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ 3=3}\)

Teraz zakładamy, że jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n}\) i sprawdzamy, czy jest wtedy prawdziwe dla \(\displaystyle{ n+1}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left( 4k-1\right)=n\left( 2n+1\right)\\\\
\sum_{k=1}^{n+1}\left( 4k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left( 4k-1\right)+4(n+1)-1=n\left( 2n+1\right)+4n+3=\\\\=2n^2+2n+3n+3=2n(n+1)+3(n+1)=(n+1)(2n+3)=(n+1)(2(n+1)+1)}\)


a więc coś takiego zachodzi, czyli równość jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n\in N}\)
ODPOWIEDZ