Witam
Niedługo podchodzę do kolokwium z matematyki dyskretnej. Niestety nie rozumiem nic i zwracam się z prośbą o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań i wytłumaczeniu krok po kroku jak rozwiązać. Będę wdzięczny za każdą pomoc. Z góry dziękuje
Oto zadania z przykładowego kolokwium:
1. Wykazać indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left( 4k-1\right)=n\left( 2n+1\right)}\)
2. Wyznaczyć liczbę naturalną n taką, że:
\(\displaystyle{ {n+2 \choose n}=2n+7}\)
3. Ośmiu kolegów postanowiło zagrać w piłkę. Przed rozpoczęciem gry muszą podzielić się na dwa czteroosobowe zespoły. Na ile sposobów mogą dokonać takiego podziału?
4. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 100 000, których suma cyfr jest równa 8?
Jak rozwiązać zadania?
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 10 maja 2012, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Jak rozwiązać zadania?
1. Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 3=3}\)
Teraz zakładamy, że jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n}\) i sprawdzamy, czy jest wtedy prawdziwe dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left( 4k-1\right)=n\left( 2n+1\right)\\\\
\sum_{k=1}^{n+1}\left( 4k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left( 4k-1\right)+4(n+1)-1=n\left( 2n+1\right)+4n+3=\\\\=2n^2+2n+3n+3=2n(n+1)+3(n+1)=(n+1)(2n+3)=(n+1)(2(n+1)+1)}\)
a więc coś takiego zachodzi, czyli równość jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n\in N}\)
\(\displaystyle{ 3=3}\)
Teraz zakładamy, że jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n}\) i sprawdzamy, czy jest wtedy prawdziwe dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left( 4k-1\right)=n\left( 2n+1\right)\\\\
\sum_{k=1}^{n+1}\left( 4k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left( 4k-1\right)+4(n+1)-1=n\left( 2n+1\right)+4n+3=\\\\=2n^2+2n+3n+3=2n(n+1)+3(n+1)=(n+1)(2n+3)=(n+1)(2(n+1)+1)}\)
a więc coś takiego zachodzi, czyli równość jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n\in N}\)