Ile jest różnych całkowitoliczbowych nieujemnych rozwiązań równania
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 10}\), takich, że \(\displaystyle{ x_{1} \le 8, x_{2} \le 6, x_{3} \le 4, x_{4} \ge 1}\)?
Wiem, że dla \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} \ge 0}\) to będzie kombinacja z powtórzeniami \(\displaystyle{ 4+12-1\choose12}\) , ale dla innych warunków, nie wiem jak się za to zabrać
Ilość całkowitoliczbowych nieujemnych rozwiązań równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Ilość całkowitoliczbowych nieujemnych rozwiązań równania.
Najłatwiej z enumeratorów kombinacji.
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=0}^{8}x^k \right)\cdot \left( \sum_{k=0}^{6}x^k \right)\cdot \left( \sum_{k=0}^{4}x^k \right)\cdot \left( \sum_{k=1}^{10}x^k \right)}\)
Interesuje Cię współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{10}}\) bo do takiej liczby (wykładnik) mają się sumować te cztery liczby.
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=0}^{8}x^k \right)\cdot \left( \sum_{k=0}^{6}x^k \right)\cdot \left( \sum_{k=0}^{4}x^k \right)\cdot \left( \sum_{k=1}^{10}x^k \right)}\)
Interesuje Cię współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{10}}\) bo do takiej liczby (wykładnik) mają się sumować te cztery liczby.