Dzisiejsza matura - iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym?

[dafix]

Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie
dziesiętnym jest równy \(\displaystyle{ 12}\).

Zadanie z dzisiejszej matury. Mój wynik to \(\displaystyle{ 3 600 000}\) a liczyłem to tak iż na pierwszym miejscu mogą stać cyfry od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 9}\). Na pięciu kolejnych \(\displaystyle{ 0-10}\). A na dwóch ostatnich są \(\displaystyle{ 4}\) możliwości \(\displaystyle{ (2,6) \ \ (3,4) \ \ (4,3) \ \ (6,2)}\). Co to jest poprawne rozumowanie?

[loitzl9006]

No niestety nie. Nie może być w ogóle zer, bo jak będzie choćby jedno zero to wtedy iloczyn cyfr będzie równy zero.

Możliwe warianty:

\(\displaystyle{ 2, \ 6}\) i reszta jedynek

\(\displaystyle{ 3, \ 4}\) i reszta jedynek

\(\displaystyle{ 3, \ 2, \ 2}\) i reszta jedynek

W dwóch pierwszych wariantach pierwszą cyfrę wybieramy na \(\displaystyle{ 8}\) sposobów, drugą na \(\displaystyle{ 7}\) sposobów, i resztę uzupełniamy jedynkami na \(\displaystyle{ 1}\) sposób

W trzecim wariancie dwie dwójki można ustawić na \(\displaystyle{ {8 \choose 2}}\) sposobów i zostaje nam jeszcze sześć miejsc, więc trójkę możemy wepchnąć na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów, potem jedynki.

Razem będzie więc \(\displaystyle{ 8 \cdot 7 \cdot 1 + 8 \cdot 7 \cdot 1 + {8 \choose 2} \cdot 6 \cdot 1}\) sposobów.

Btw też poległem na tym zadaniu... napisałem \(\displaystyle{ 8 \cdot 7 \cdot 6}\) wyszło mi zatem wszystkich możliwości \(\displaystyle{ 448}\) a powinno \(\displaystyle{ 280}\).

[dafix]

Iloczyn cyfr w ich zapisie dziesietnym zrozumialem, ze maja to byc iloczyn 2 ostatnich cyfr. No nic. Dzieki za rozwiazanie.

[chieFU]

Witam. Też dzisiaj mierzyłem się z maturą rozszerzoną z matematyki. Mam pytanie do tego zadania. Mianowicie wyszło mi tak samo, ale niestety odpowiedź zmieniłem ponieważ doszedłem do wniosku, że trzeba jeszcze brać pod uwagę kolejność. Napisałem że:
-Dla cyfr \(\displaystyle{ 2,2,3,1,1,1,1,1}\)
\(\displaystyle{ {8 \choose 2} \cdot {6 \choose 1} \cdot 3! \cdot 1=1008}\)
(\(\displaystyle{ 3!}\) dlatego, że myślałem o uwzględnieniu kolejności)
-Dla cyfr \(\displaystyle{ 4,2,1,1,1,1,1,1}\)
\(\displaystyle{ {8 \choose 1} \cdot {7 \choose 1} \cdot 2! \cdot 1=112}\)
-Dla cyfr \(\displaystyle{ 6,2,1,1,1,1,1,1}\)
\(\displaystyle{ {8 \choose 1} \cdot {7 \choose 1} \cdot 2! \cdot 1=112}\)

Czy to jest możliwe? Jeśli rozwiązanie jest błędne to jak myślicie, ile punktów za to dostanę? Oczywiście wcześniej napisałem odpowiednie założenia (nie może być zera, z jakich cyfr zbudowana jest ta liczba itd.).
Dzięki za odpowiedź. ;D

[Jan Kraszewski]

Jeśli rozwiązanie jest błędne to jak myślicie, ile punktów za to dostanę?

Myślę, że zero. Na mój gust podstawowa wersja klucza będzie dawać po jednym punkcie za każdy z trzech przypadków, opisanych przez loitzla9006 i jeden punkt za ich dodanie (a nie, np. pomnożenie...).

JK

[asiamarz]

Czyli jaki powinien wyjść prawidłowy wynik? BO ja dzisiaj to robiłam na maturze i wyliczyłam 448 możliwości :/ To źle?

Rozpisałam trzy przypadki:
I. kiedy występuje 3 i 4 a reszta to jedynki --> 56 możliwości
II. kiedy występuje 2 i 6 a reszta to jedynki --> 56 możliwości
III. kiedy występuje 2 i 2 i 3 a reszta to jedynki ---> 336 możliwości
Po czym wszystko dodałam.

Jak powinno być prawidłowo?

[Jan Kraszewski]

Źle policzyłaś przypadek III (przeczytaj wytłumaczenie loitzla9006, które masz powyżej). Myślę, że masz szansę na 3 pkt.

JK