rozkład permutacji na cykle

[SzalonyMjut]

Proszę rozłożyć permutację \(\displaystyle{ \pi = { \ 1 \ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9 \choose \ 4\ 8\ 9\ 7\ 1\ 2\ 5\ 6\ 3}}\) na cykle.

[leapi]

w czym problem ??

[SzalonyMjut]

Szukam sposobu ich rozkładu, chociażby tu: ... Permutacje
Próbuję zrozumieć jak to się rozkłada, ale nie potrafię.
Czy jest może gdzieś przystępna instrukcja jak je rozłożyć?

[leapi]

podążaj za permutacją
\(\displaystyle{ 1}\) przechodzi na \(\displaystyle{ 4}\) a czwórka na \(\displaystyle{ 7}\), siódemka na \(\displaystyle{ 5}\) piątka na \(\displaystyle{ 1}\) i "kółko się zamknęło" stąd cykl \(\displaystyle{ (1,4,7,5)}\) teraz zaczynasz od pierwszej wolnej czyli od dwójki

[SzalonyMjut]

Czy poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ (1,4,7,5)(2,8,6,2)(3,9,9,3)(8,6)}\)?

[leapi]

za dużo napisałeś \(\displaystyle{ (1,4,7,5)(2,8,6)(3,9)}\)

[SzalonyMjut]

Dziękuję za pomoc!

Czy mógłbym jeszcze prosić o podpowiedź do tego zadania?
Proszę znaleźć \(\displaystyle{ \pi ^{71}}\), gdzie \(\displaystyle{ \pi}\) jest permutacją z poprzedniego zadania.
Z czego muszę skorzystać?

[leapi]

liczysz \(\displaystyle{ \pi^2}\) \(\displaystyle{ \pi^3}\) itd do momentu aż uzyskasz \(\displaystyle{ id}\). To widać po cyklach, ale na początek proponuje po kolei, z tego co ja widzę \(\displaystyle{ id=\pi^{12}}\)

powiedzieć dlaczego??

stąd \(\displaystyle{ \pi^{71}=\left( \pi^{12}\right) ^5 \pi^{11}}\)

a to już łatwiej:D bo to \(\displaystyle{ \pi^{-1}}\)

\(\displaystyle{ \pi^{71}=\pi^{-1}}\)

[norwimaj]

Składanie czasem bywa przemienne (po to tę permutację rozkładaliście na cykle):

\(\displaystyle{ \pi^{71}=(1,4,7,5)^{71}(2,8,6)^{71}(3,9)^{71}=(1,4,7,5)^3(2,8,6)^2(3,9)=(1,5,7,4)(2,6,8)(3,9)}\).