i-ty wyraz ciągu

[Mqat]

Witam,
Moich problemów z matematyką dyskretną ciąg dalszy

Wykorzystując rekurencję i funkcje tworzące podaj wzór zwarty na i-ty wyraz ciągu
\(\displaystyle{ a_{i}=0 ^{2} +...+ i^{2}}\)
Rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{0}=0 \\ a _{i}=a _{i-1}+i ^{2} \end{cases}}\)
Funkcja tworząca dla tego ciągu:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty } i^{2} \cdot z ^{i}}\)
Problem zaczyna się gdy próbuje utworzyć wzór zwarty:
\(\displaystyle{ A(z)=\sum_{i=0}^{ \infty } i^{2}\cdot z ^{i}=\sum_{i=0}^{ \infty }(\cdot0+[i>0](a _{i-1}+i^{2}))\cdot z ^{i}=\sum_{i=1}^{ \infty } a _{i-1}\cdot z ^{i}+\sum_{i=1}^{ \infty } i^{2} \cdot z ^{i}=\sum_{i=0}^{ \infty } a _{i}\cdot z ^{i+1}+\sum_{i=1}^{ \infty } i^{2} \cdot z ^{i}=?}\)
Nie mam pojęcia jak to dalej rozgryść. Próbowałem coś zrobić z drugim składnikiem sumy (policzyć jego wzór zwarty osobno ale nic to nie dało). Proszę o pomoc w rozwiązaniu i w miarę proste wytłumaczenie.

[Qń]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{0}=0 \\ a _{i}=a _{i-1}+i ^{2} \end{cases}}\)
Funkcja tworząca dla tego ciągu:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty } i^{2} \cdot z ^{i}}\)

Jesteś pewien, że znasz definicję funkcji tworzącej?

Q.

[kriegor]

masz zle. przy \(\displaystyle{ z^i}\) ma stac i-ty wyraz ciagu a wiec suma kwadratow do i wlacznie..

jak jest cos takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{0}=0 \\ a _{i}=a _{i-1}+i ^{2} \end{cases}}\)
to sprowadzamy to do takiej postaci zeby dzialalo nawet dla poczatkowych wyrazow (tutaj dziala ) i przemnazamy przez \(\displaystyle{ z^i}\) i sumujemy
funkcja tworzaca to \(\displaystyle{ F(z)= \sum_{i=0}^{}a_i z^i}\)

a jak przemnozymy i przesumujemy ta rekurencje to dostaniemy:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{}a_i z^i= \sum_{i=0}^{}a_{i-1} z^i+i^2z^i}\)

\(\displaystyle{ F(z)=zF(z)+i^2z^i}\) => choc tutaj juz pewnosci nie mam wg mnie taki przyklad jest troche za prosty zeby sie bawic w funkcje tworzace ale pisze tutaj zeby sie dowiedziec jak to dalej pociagnac?

[Qń]

a jak przemnozymy i przesumujemy ta rekurencje to dostaniemy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{}a_i z^i= \sum_{i=0}^{}a_{i-1} z^i+i^2z^i}\)

Nie, dostaniemy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty}a_i z^i= \sum_{i=0}^{\infty}a_{i-1} z^i+\sum_{i=0}^{\infty}i^2z^i}\)

By znaleźć ostatnią sumę, wystarczy zróżniczkować stronami równość:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty}z^i=\frac{1}{1-z}}\)
skąd dostajemy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty}(i+1)z^i=\frac{1}{(1-z)^2}}\)
i jeszcze jedno różniczkowanie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty}(i+2)(i+1)z^i=\frac{2}{(1-z)^3}}\)

Wystarczy teraz zauważyć, że:
\(\displaystyle{ i^2z^i=(i+2)(i+1)z^i-3(i+1)z^i+z^i}\)
więc
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty}i^2z^i=\frac{2}{(1-z)^3}-\frac{3}{(1-z)^2}+\frac{1}{1-z}}\)

Q.

[kriegor]

o super.

czyli pozostalo jeszcze wyznaczenie funkcji tworzacej \(\displaystyle{ F(z)= \sum_{i}^{}a_iz^i}\) wiedzac ze \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty}a_i z^i= \sum_{i=0}^{\infty}a_{i-1} z^i+\sum_{i=0}^{\infty}i^2z^i}\) czyli \(\displaystyle{ F(z)=zF(z)+\frac{2}{(1-z)^3}-\frac{3}{(1-z)^2}+\frac{1}{1-z}}\) i koniec?

[Mqat]

Jeszcze nie koniec... potrzebny jest wzór na i-ty wyraz ciągu. Czyli trzeba to rozwinąć w szereg potęgowy, jeszcze wcześniej uprościć:
\(\displaystyle{ F(z)=\frac{z+z ^{2} }{(1-z)^4}}\)
Utworzyć z tego ułamki proste:
\(\displaystyle{ F(z)=\frac{z}{(1-z)^4}+\frac{z ^{2} }{(1-z)^4}}\)
no i wykorzystać jakieś znane rozwinięcie w szereg potęgowy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-z)^4}= \sum_{i=0}^{ \infty } {i+3 \choose i} \cdot z ^{i}}\)
\(\displaystyle{ F(z)= \sum_{i=0}^{ \infty } {i+3 \choose i} \cdot z ^{i+1}+ \sum_{i=0}^{ \infty } {i+3 \choose i} \cdot z ^{i+2}}\)
Tylko mam jedno pytanie: czy to jest aby na pewno ZNANE rozwinięcie w szereg potęgowy, czy da się do niego jakoś dojść?
EDIT: za dużo kodu, a ja jeszcze do LaTeXa nie jestem przyzwyczajony, stąd ta pomyłka

[kriegor]

Utworzyć z tego ułamki proste:
\(\displaystyle{ F(z)=\frac{z}{(1-z)^4}+\frac{z}{(1-z)^4}}\)

nieprawda czegos zabraklo. prawda jest taka:

\(\displaystyle{ F(z)=\frac{z}{(1-z)^4}+\frac{z^2}{(1-z)^4}}\) w sumie smiesznie wyszlo ale tak wyszlo


to rozwiniecie o ktore pytasz jest bardzo znane ale dojscie do niego to straszne grzebanie ja zawsze wolalem przyjac ze jest ono znane bo dochodzenie do niego nie jest jakies odkrywcze trzeba dobrze dlubac w rachunkach (cos znanego rozniczkowac/calkowac i sie uda) a wg mnie nie jest to az tak ambitne
ale nie wykluczam ze jest to zle i leniwe podejscie

[Mqat]

Jest gdzieś jakiś spis znanych rozwinięć?

Końcówka rozwiązania:
\(\displaystyle{ F(z)= \sum_{i=2}^{ \infty } {i+1 \choose i-2} \cdot z ^{i}+ \sum_{i=1}^{ \infty } {i+2 \choose i-1} \cdot z ^{i}}\)
"wyrównuje" i (nie wiem jak to powiedzieć fachowo )
\(\displaystyle{ F(z)= \sum_{i=2}^{ \infty } ({i+1 \choose i-2}+ {i+2 \choose i-1}) \cdot z ^{i}+z+0}\)
Korzystając z jednoznaczności rozwinięcia funkcji analitycznej w szereg potęgowy i wyliczając symbole Newtona otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a _{i}= \frac{i(2i+1)(i+1)}{6}}\)

Dziękuje Wam za pomoc

[Qń]

Spis "znanych" rozwinięć można znaleźć w Matematyce konkretnej.

Q.