Wyznaczyć wzór jawny
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wyznaczyć wzór jawny
Nie wiem do jakiego doszliście wniosku.
Natomiast jeśli chodzi o zadanie, to jedyną możliwością na rozwiązanie rekurencji z tematu jest wyrażenie \(\displaystyle{ a_n}\) zależnie od \(\displaystyle{ n!}\) i \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}}\).
Q.
Natomiast jeśli chodzi o zadanie, to jedyną możliwością na rozwiązanie rekurencji z tematu jest wyrażenie \(\displaystyle{ a_n}\) zależnie od \(\displaystyle{ n!}\) i \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}}\).
Q.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wyznaczyć wzór jawny
Skoro funkcja gamma cię nie interesuje to funkcja tworząca(funkcja gamma nie za bardzo mnie interesuje)
która dla ciągu jedynek daje szereg geometryczny tym bardziej ciebie nie będzie interesować
Z funkcji tworzących przydatna może być wykładnicza funkcja tworząca
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=3 \\ a_{n} = n \cdot (a_{n-1} -1) + 2 \end{cases}\\
a_{1}=1 \cdot a_{0}-1+2\\
3=a_{0}+1\\
a_{0}=2\\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}\\
\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}= \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{n}{n!}a_{n}x^{n}}- \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{n}{n!}x^{n}}+2 \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{x^n}{n!} }\\
A\left( x\right)-2=x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{1}{\left( n-1\right) !}a_{n-1}x^{n-1}}\right)-x\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{1}{\left( n-1\right) !}x^{n-1}}\right) +2 \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{x^n}{n!} }-1\right) \\
A\left( x\right)-2=x \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^{n}}-x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{x^{n}}{n!} } \right)+2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{x^{n}}{n!}} \right)-2\\
A\left( x\right)=xA\left( x\right)-xe^{x}+2e^{x}\\
A\left( x\right)\left( 1-x\right)=\left( 2-x\right)e^{x}\\
A\left( x\right)=\frac{2-x}{1-x}e^{x}\\
A\left( x\right)=\frac{1-x+1}{1-x}e^{x}\\
A\left( x\right)=e^{x}+\frac{e^{x}}{1-x}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{x^n}{n!}} +\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n} \right)\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{x^n}{n!} } \right)\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left[1+ \sum_{k=0}^{ n }{ {n \choose k} k! } \right] \cdot \frac{x^n}{n!} } \\
a_{n}=1+ \sum_{k=0}^{ n }{ {n \choose k} k! }\\
a_{n}=1+ \sum_{k=0}^{n} { \frac{n!}{\left( n-k\right)! } }}\)