losowanie ze zwracaniem, a bez zwracania

[Arcymistrz]

Nurtuje mnie jedna rzecz. Załóżmy, że mamy \(\displaystyle{ 4}\) kule czarne i \(\displaystyle{ 6}\) białych.
Losujemy bez zwracania \(\displaystyle{ 3}\) kule. Wówczas \(\displaystyle{ \Omega = {10 \choose 3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{3! \cdot 7!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{3!}}\)
Jaka byłaby przestrzeń zdarzeń, jeżeli losujemy te \(\displaystyle{ 3}\) kule ze zwracaniem?
Według mnie powinno być \(\displaystyle{ \Omega = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{3!}}\). Liczba ta nie jest jednak całkowita. Może mnie ktoś oświecić jak to powinno być?

[sieniaf]

3-wyrazowa wariacja z powtórzeniami zbioru 10 elementowego: \(\displaystyle{ 10^{3}}\)

[Arcymistrz]

Dlaczego tak? Przecież kolejność nie ma znaczenia, liczy się tylko efekt jakie te kule są.
Jeżeli wg. Ciebie ma to być wariacja z powtórzeniami to w pierwszej opcji, gdy losujemy bez zwracania powinna być wariacja bez powtórzeń, czyli \(\displaystyle{ 10 \cdot 9 \cdot 8}\), ale tak nie jest. Dzieli się to przez permutację zbioru 3 elementowego czyli \(\displaystyle{ 3!}\), bo kolejność wylosowanych kul nie ma znaczenia, liczy się tylko jakie są te kule.

edit:
Już wiem jak powinno być. Będzie to kombinacja z powtórzeniami.
\(\displaystyle{ C_{n}^{k} = {n+k-1 \choose k}}\)

[sieniaf]

Sorry, nie zrozumiałem Ciebie.

Jeśli wszystkie kule są unikatowe:

1. kolejność ma znaczenie:
a) ze zwracaniem - wariacja z powtórzeniami
b) bez zwracania - wariacja bez powtórzeniami

2. kolejność nie ma znaczenia:
a) ze zwracaniem - kombinacja z powtórzeniami
b) bez zwracania - kombinacja bez powtórzeń

Jednak pisałeś coś o \(\displaystyle{ 4}\) kulach czarnych i \(\displaystyle{ 6}\) białych.

[mat_61]

Unikatowość kul nie ma nic do rzeczy.

W ten sposób mylisz ilość wszystkich możliwych wyników losowania z "obserwowalnym wynikiem" takiego losowania.

Zauważ, że przy losowaniu bez zwracania \(\displaystyle{ 3}\) kul z \(\displaystyle{ 10}\) (jak w przykładzie) możemy obserwować takie cztery wyniki losowania:

\(\displaystyle{ \left\{ C;C;C\right\} \ ; \ \left\{ B;C;C\right\} \ ; \ \left\{ B;B;C\right\} \ ; \ \left\{ B;B;B\right\}}\)

Natomiast wyliczona moc zbioru \(\displaystyle{ \Omega= {10 \choose 3}}\) jest niewątpliwie dużo większa.