liczba rozwiązań równania

[ali00491]

Zad Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania: \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} +x _{4} = 21}\) dla \(\displaystyle{ -5 \le x _{i} \le 10 1=1,..,4}\)
Przez podstawienie \(\displaystyle{ x _{i} =y _{i} -5}\) dochodzę do równania: \(\displaystyle{ y _{1} +...+y _{2} =41}\) przy ograniczeniu \(\displaystyle{ 0 \le y _{i} \le 15}\) czyli liczba rozwiązań to \(\displaystyle{ {44 \choose 3}}\), ale to chyba nie koniec zadania?? Co trzeba zrobić w związku z tym ograniczeniem?

[norwimaj]

Do tej pory policzyłaś moc zbioru \(\displaystyle{ Y=\{(y_1,\ldots y_4)\in\mathbb{Z}^4: y_1+\ldots+y_4=41, 0 \le y_i \text{ dla } i = 1,2,3,4\}}\). Jednak w tym zbiorze są pewne złe podzbiory \(\displaystyle{ B_i=\{(y_1,\ldots y_4)\in Y: 16 \ge y_i\}}\). Można policzyć moc \(\displaystyle{ Y\setminus \bigcup_{i=1}^4 B_i}\) korzystając z reguły włączeń i wyłączeń.

\(\displaystyle{ \binom{44}3-4\cdot\binom{28}3+6\cdot\binom{12}3-4\cdot0+0= 1460}\).