Witajcie .
Mam takie zadanie i chciałbym wiedzieć, czy dobrze je policzyłem . Robiłem je trochę analogicznie do tego co miałem na ćwiczeniach i nie jestem pewien czy dobrze je zrobiłem .
Treść:
Oblicz ile jest istotnie różnych sposobów pokolorowania trzema kolorami kwadratu podzielonego na trójkąty jak na rysunku poniżej, jeżeli za grupę symetrii przyjmiemy grupę symetrii kwadratu u (obroty i symetrie osiowe)?
Mi wyszło:
\(\displaystyle{ N= \frac{3^8+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^4+2 \cdot 3^6}{8}=1035}\)
Widzę, że nikt nie odpisuje, więc może przedstawię swoje rozwiązanie i jeśli ktoś mógłby je sprawdzić i skorygować to byłbym wdzięczny .
Otóż mam grupę G złożoną z:
\(\displaystyle{ G=\left\{ O _{0},O_{ \frac{ \pi }{2}},O_{\pi },O_{ \frac{ 3\pi }{2}},S_{|},S_{-},S_{ \setminus },S_{/}, \right\}}\)
gdzie
O - obrót
S - symetria
No i teraz analizuję obroty:
\(\displaystyle{ FIX _{O _{0} } = 3^8}\) - 3 kolory, 8 trójkątów w kwadracie
\(\displaystyle{ FIX _{O_{ \frac{ \pi }{2}}} = 3^2\\
FIX _{O_{ \pi }} = 3^4\\
FIX _{O_{ \frac{ 3\pi }{2}}} = 3^2\\\\}\)
Teraz kolej na symetrie:
\(\displaystyle{ FIX _{S_{|}} = FIX _{S_{-}} = 3^4}\) - 3 kolory i po jednej ze stron osi symetrii zostają po 4 trójkąty
\(\displaystyle{ FIX _{S_{/}} = FIX _{S_{ \setminus }} = 3^6}\) - 3 kolory i po jednej ze strn zostaje 6 trójkątów
Zgodnie ze wzorem, sumując i dzieląc przez ilość obrotów i symetrii wychodzi:
\(\displaystyle{ N= \frac{3^8+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^4+2 \cdot 3^6}{8}=1035}\)
Czekam na odpowiedź, czy moje rozwiązanie jest poprawne czy wymaga korekty. Jeśli tak, to co robię źle?
Z góry dziękuje!