Konferencje z naukowcami.

[ugabuga333]

Piętnastu naukowców z pewnego wydziału wybiera się na \(\displaystyle{ x}\) rozróżnialnych konferencji, każdy na jedną. Na ile sposobów mogą to zrobić, jeśli :

\(\displaystyle{ a.)}\) naukowcy są nierozróżnialni, \(\displaystyle{ x=5}\), na każdą konferencję musi pojechać przynajmniej jeden naukowiec.

\(\displaystyle{ b.)}\) naukowcy są rozróżnialni, \(\displaystyle{ x=13}\), na każdą konferencję musi pojechać przynajmniej jeden naukowiec.

???-- 16 kwi 2012, o 12:17 --Jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ a.)}\) to wydaje mi się, że będzie coś takiego, że najpierw musimy zagwarantować, że co najmniej jeden będzie na każdej, a skoro naukowcy są nierozróżnialni, to będzie to tylko \(\displaystyle{ 1}\) możliwość. Dalej zostało nam \(\displaystyle{ 10}\) nierozróżnialnych naukowców, a więc użyjmy kombinacji z powtórzeniami \(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 10} = {14 \choose 10}}\).

Jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ b.)}\) to wydaje mi się, że będzie coś takiego, że skoro naukowcy są rozróżnialni, to wybierzmy z \(\displaystyle{ 15}\) naukowców \(\displaystyle{ 13}\), żeby zapewnić, że każdy będzie na jednej, więc bedzie \(\displaystyle{ {15 \choose 13} \cdot 13!}\), no i zostało nam jeszcze dwóch naukowców, więc pomnóżmy poprzedni wynik przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 = 5^{2}}\).

Dobrze ???

[mat_61]

Przykład a) jest OK (choć nierozróżnialni naukowcy wydają się jacyś dziwni )

Przykład b) nie jest poprawnie. Taki sam układ naukowców na konferencjach jest przez Ciebie traktowany jako różny i liczony jest kilkakrotnie.

Przykładowo, w wyniku wyboru i uporządkowania 13-tu naukowców na konferencję A pojedzie naukowiec nr 7, a Ci początkowo niewybrani np. nr 3 i nr 12 pojadą także na konferencję A.

Może jednak być tak, że niewybrani w pierwszym kroku będą naukowcy nr 7 i nr 12. Naukowiec nr 3 zostanie przypisany do konferencji A a Ci początkowo niewybrani naukowcy nr 7 i nr 12 pojadą także na konferencję A. Pozostałe konferencje będą obsadzone tak jak w poprzednim wariancie.

Widzisz, że w obydwu przypadkach skład konferencji jest identyczny pomimo, że przy Twoim sposobie liczenia został potraktowany jako różny.

-- 16 kwi 2012, o 17:33 --

Przykład b) można rozwiązać w ten sposób:

Wiadomo, że musi być albo jedna konferencja z trzema naukowcami (i reszta po jednym) albo dwie konferencje z dwoma naukowcami (i reszta po jednym).

W pierwszym przypadku wybieramy trzech naukowców z piętnastu, związujemy ich sznurkiem i traktujemy jako jednego bardzo dużego naukowca o potrójnej wiedzy. Następnie dzielimy 13 naukowców (wśród których jest jeden bardzo duży) na 13 konferencji.

W drugim przypadku wybieramy dwie pary naukowców (należy być czujnym aby nie uwzględnić dwukrotnie takich samych par), każdą z nich związujemy sznurkiem i traktujemy jako dwóch dużych naukowców o podwójnej wiedzy. Następnie dzielimy 13 naukowców (wśród których jest dwóch dużych) na 13 konferencji.