Piętnastu naukowców z pewnego wydziału wybiera się na \(\displaystyle{ x}\) rozróżnialnych konferencji, każdy na jedną. Na ile sposobów mogą to zrobić, jeśli :
\(\displaystyle{ a.)}\) naukowcy są nierozróżnialni, \(\displaystyle{ x=5}\), na każdą konferencję musi pojechać przynajmniej jeden naukowiec.
\(\displaystyle{ b.)}\) naukowcy są rozróżnialni, \(\displaystyle{ x=13}\), na każdą konferencję musi pojechać przynajmniej jeden naukowiec.
???-- 16 kwi 2012, o 12:17 --Jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ a.)}\) to wydaje mi się, że będzie coś takiego, że najpierw musimy zagwarantować, że co najmniej jeden będzie na każdej, a skoro naukowcy są nierozróżnialni, to będzie to tylko \(\displaystyle{ 1}\) możliwość. Dalej zostało nam \(\displaystyle{ 10}\) nierozróżnialnych naukowców, a więc użyjmy kombinacji z powtórzeniami \(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 10} = {14 \choose 10}}\).
Jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ b.)}\) to wydaje mi się, że będzie coś takiego, że skoro naukowcy są rozróżnialni, to wybierzmy z \(\displaystyle{ 15}\) naukowców \(\displaystyle{ 13}\), żeby zapewnić, że każdy będzie na jednej, więc bedzie \(\displaystyle{ {15 \choose 13} \cdot 13!}\), no i zostało nam jeszcze dwóch naukowców, więc pomnóżmy poprzedni wynik przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 = 5^{2}}\).
Dobrze ???
Konferencje z naukowcami.
-
- Użytkownik
- Posty: 415
- Rejestracja: 12 lis 2011, o 15:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Konferencje z naukowcami.
Przykład a) jest OK (choć nierozróżnialni naukowcy wydają się jacyś dziwni )
Przykład b) nie jest poprawnie. Taki sam układ naukowców na konferencjach jest przez Ciebie traktowany jako różny i liczony jest kilkakrotnie.
Przykładowo, w wyniku wyboru i uporządkowania 13-tu naukowców na konferencję A pojedzie naukowiec nr 7, a Ci początkowo niewybrani np. nr 3 i nr 12 pojadą także na konferencję A.
Może jednak być tak, że niewybrani w pierwszym kroku będą naukowcy nr 7 i nr 12. Naukowiec nr 3 zostanie przypisany do konferencji A a Ci początkowo niewybrani naukowcy nr 7 i nr 12 pojadą także na konferencję A. Pozostałe konferencje będą obsadzone tak jak w poprzednim wariancie.
Widzisz, że w obydwu przypadkach skład konferencji jest identyczny pomimo, że przy Twoim sposobie liczenia został potraktowany jako różny.
-- 16 kwi 2012, o 17:33 --
Przykład b) można rozwiązać w ten sposób:
Wiadomo, że musi być albo jedna konferencja z trzema naukowcami (i reszta po jednym) albo dwie konferencje z dwoma naukowcami (i reszta po jednym).
W pierwszym przypadku wybieramy trzech naukowców z piętnastu, związujemy ich sznurkiem i traktujemy jako jednego bardzo dużego naukowca o potrójnej wiedzy. Następnie dzielimy 13 naukowców (wśród których jest jeden bardzo duży) na 13 konferencji.
W drugim przypadku wybieramy dwie pary naukowców (należy być czujnym aby nie uwzględnić dwukrotnie takich samych par), każdą z nich związujemy sznurkiem i traktujemy jako dwóch dużych naukowców o podwójnej wiedzy. Następnie dzielimy 13 naukowców (wśród których jest dwóch dużych) na 13 konferencji.
Przykład b) nie jest poprawnie. Taki sam układ naukowców na konferencjach jest przez Ciebie traktowany jako różny i liczony jest kilkakrotnie.
Przykładowo, w wyniku wyboru i uporządkowania 13-tu naukowców na konferencję A pojedzie naukowiec nr 7, a Ci początkowo niewybrani np. nr 3 i nr 12 pojadą także na konferencję A.
Może jednak być tak, że niewybrani w pierwszym kroku będą naukowcy nr 7 i nr 12. Naukowiec nr 3 zostanie przypisany do konferencji A a Ci początkowo niewybrani naukowcy nr 7 i nr 12 pojadą także na konferencję A. Pozostałe konferencje będą obsadzone tak jak w poprzednim wariancie.
Widzisz, że w obydwu przypadkach skład konferencji jest identyczny pomimo, że przy Twoim sposobie liczenia został potraktowany jako różny.
-- 16 kwi 2012, o 17:33 --
Przykład b) można rozwiązać w ten sposób:
Wiadomo, że musi być albo jedna konferencja z trzema naukowcami (i reszta po jednym) albo dwie konferencje z dwoma naukowcami (i reszta po jednym).
W pierwszym przypadku wybieramy trzech naukowców z piętnastu, związujemy ich sznurkiem i traktujemy jako jednego bardzo dużego naukowca o potrójnej wiedzy. Następnie dzielimy 13 naukowców (wśród których jest jeden bardzo duży) na 13 konferencji.
W drugim przypadku wybieramy dwie pary naukowców (należy być czujnym aby nie uwzględnić dwukrotnie takich samych par), każdą z nich związujemy sznurkiem i traktujemy jako dwóch dużych naukowców o podwójnej wiedzy. Następnie dzielimy 13 naukowców (wśród których jest dwóch dużych) na 13 konferencji.