Toźsamości kombinatoryczne.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
dagi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 27 lut 2012, o 21:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Toźsamości kombinatoryczne.

Post autor: dagi »

Udowodnić nadając interpretację kombinatoryczną :

\(\displaystyle{ 2 {n \choose 2} 2^{n-2} = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}i\left( n-i\right)}\)

???
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2012, o 00:45 przez dagi, łącznie zmieniany 1 raz.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Toźsamości kombinatoryczne.

Post autor: norwimaj »

Po prawej stronie powinno być \(\displaystyle{ n-i}\) zamiast \(\displaystyle{ n-1}\).

Interpretacja kombinatoryczna: na ile sposobów \(\displaystyle{ n}\)-osobowa klasa może się podzielić na zwolenników i przeciwników pójścia jutro na wagary, oraz w każdej z tych grup wybrać lidera.
dagi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 27 lut 2012, o 21:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Toźsamości kombinatoryczne.

Post autor: dagi »

Tak średnio wiem jak to opisać :/

Jeżeli chodzi o lewą stronę, to :

Najpierw wybierzmy z \(\displaystyle{ n}\) - osobowej klasy liderów, którzy będą przewodzili dwóm grupom, zwolenników i przeciwników. Wybieramy to na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów. Następnie musimy podzielić pozostałe \(\displaystyle{ n-2}\) osoby na te które przynależą do tej lub do tamtej grupy, a więc robimy to na \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) sposobów. I nie wiem co zrobić z tą \(\displaystyle{ 2}\) jeszcze ? :/ ?

A, co do prawej strony, to :

Wybierzmy z \(\displaystyle{ n}\) - osobowej grupy \(\displaystyle{ i}\) - osób i z tej grupy \(\displaystyle{ i}\) - osobowej wybierzmy lidera ... No i nie wiem co dalej :/ Będę wdzięczna za pomoc w dokończeniu tego zadania.

???
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Toźsamości kombinatoryczne.

Post autor: norwimaj »

dagi pisze:Następnie musimy podzielić pozostałe \(\displaystyle{ n-2}\) osoby na te które przynależą do tej lub do tamtej grupy, a więc robimy to na \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) sposobów.
\(\displaystyle{ 2^{n-2}}\)
dagi pisze: I nie wiem co zrobić z tą \(\displaystyle{ 2}\) jeszcze ? :/ ?
Liderom też trzeba przydzielić, który jest w której grupie.
dagi pisze: Wybierzmy z \(\displaystyle{ n}\) - osobowej grupy \(\displaystyle{ i}\) - osób i z tej grupy \(\displaystyle{ i}\) - osobowej wybierzmy lidera ... No i nie wiem co dalej
Z pozostałych \(\displaystyle{ n-i}\) osób również trzeba wybrać lidera, co możemy zrobić na \(\displaystyle{ n-i}\) sposobów.
dagi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 27 lut 2012, o 21:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Toźsamości kombinatoryczne.

Post autor: dagi »

Oki, rozumiem, to jakie będzie teraz podsumowanie tego wszystkiego ?
ODPOWIEDZ