Pary szachistów.
-
dagi
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 27 lut 2012, o 21:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Pary szachistów.
Na ile sposobów można zestawić trzy pary spośród \(\displaystyle{ n}\) szachistów ?
-
Arcymistrz
- Użytkownik
- Posty: 134
- Rejestracja: 9 sty 2012, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Pary szachistów.
Wystarczy wykorzystać kombinację bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ C_{n}^{6} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}}\)
\(\displaystyle{ C_{n}^{6} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}}\)
-
Arcymistrz
- Użytkownik
- Posty: 134
- Rejestracja: 9 sty 2012, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
Pary szachistów.
Nie ma potrzeby. Kombinacja bez powtórzeń pozwala nam określić na ile sposobów, można wybrać \(\displaystyle{ 6}\) spośród \(\displaystyle{ n}\) osób. Nie liczy się tu kolejność wyboru, tylko fakt jakie osoby zostały wybrane. Analogicznie postępujemy dalej, z \(\displaystyle{ 6}\) wybranych już osób najpierw wybieramy \(\displaystyle{ 2}\), które stworzą jedną parę. Potem mnożymy przez ilość sposobów wybrania \(\displaystyle{ 2}\) graczy do drugiej pary spośród \(\displaystyle{ 4}\)pozostałych. Na końcu zostają już tylko \(\displaystyle{ 2}\) osoby, które stworą ostatnią parę.
\(\displaystyle{ C_{n}^{6} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}= {n \choose 6} \cdot {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {2 \choose 2} = \frac{n!}{6!(n-6)!} \cdot \frac{6!}{2!(6-2)!} \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n}{8}}\)
Nie trzeba dzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\). bo nie bierzemy tu pod uwagę wyboru stołu przez powstałe pary. Jeżeli dodatkowo stoły te lub pary miałyby być ponumerowane to należałoby pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3!}\).
\(\displaystyle{ C_{n}^{6} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}= {n \choose 6} \cdot {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {2 \choose 2} = \frac{n!}{6!(n-6)!} \cdot \frac{6!}{2!(6-2)!} \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n}{8}}\)
Nie trzeba dzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\). bo nie bierzemy tu pod uwagę wyboru stołu przez powstałe pary. Jeżeli dodatkowo stoły te lub pary miałyby być ponumerowane to należałoby pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3!}\).
Pary szachistów.
Chciałbym dopytać, czy na pewno, to co zostało tutaj napisane jest prawdą? Ponieważ na ćwiczeniach mieliśmy takie zadanie i otrzymany wynik dzieliliśmy przez 3!
-
Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Pary szachistów.
Arcymistrz, idąc Twoim sposobem możemy raz utworzyć pary: AB, CD, EF (najpierw wybralismy AB, potem CD, potem EF). (Zakładamy, że mamy 6 zawodników: A,B,C,D,E,F).
Innym razem możemy utworzyć pary: CD, AB, EF (najpierw wybraliśmy CD, następnie AB, a na końcu EF). Ale przecież to zdarzenie już policzyliśmy.
Reasumując, wyrażenie \(\displaystyle{ C^2_6}\) oznacza tak na prawdę wybór dwóch osób do pierwszej pary, \(\displaystyle{ C^2_4}\) oznacza wybór dwóch osób do drugiej pary a \(\displaystyle{ C^2_2}\) do trzeciej pary. Należy podzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\), ponieważ te pary są nierozróżnialne.
Jak ktoś ma wątpliwości można przeprowadzić rozumowanie, gdy mamy 4 zawodników i chcemy ich podzielić na dwie rozłączne pary i wypisać sobie wszystkie trzy możliwości.
Innym razem możemy utworzyć pary: CD, AB, EF (najpierw wybraliśmy CD, następnie AB, a na końcu EF). Ale przecież to zdarzenie już policzyliśmy.
Reasumując, wyrażenie \(\displaystyle{ C^2_6}\) oznacza tak na prawdę wybór dwóch osób do pierwszej pary, \(\displaystyle{ C^2_4}\) oznacza wybór dwóch osób do drugiej pary a \(\displaystyle{ C^2_2}\) do trzeciej pary. Należy podzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\), ponieważ te pary są nierozróżnialne.
Jak ktoś ma wątpliwości można przeprowadzić rozumowanie, gdy mamy 4 zawodników i chcemy ich podzielić na dwie rozłączne pary i wypisać sobie wszystkie trzy możliwości.