Losowanie 8 kart z talii 52 kart.

[pawelmitrus]

Cześć, mam problem z jednym zadaniem. Na ile sposobów możemy wyciągnąć z talii 52 kart 8 kart tak, aby była w nich przynajmniej 1 karta z każdego koloru.

Nie wiem jak poradzić sobie szczególnie w tym miejscu, gdy mam:
\(\displaystyle{ 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot {48 \choose 4}}\)

ponieważ taki zapis rozróżnia sytuację gdy np w losowaniu po 1 karcie z każdego koloru wylosuję asa pik, a w pozostałych króla pik, oraz odwrotnie - gdy zacznę losowanie od króla. Jak to dokładnie rozbić? Z góry dzięki za pomoc!

[janka]

Zastanawiam się,czy nie łatwiej policzyć ilość sposobów losowania w zdarzeniu przeciwnym,czyli wylosowanie 8 kart z trzech kolorów ,ośmiu kart z dwóch kolorów i 8 kart w jednym kolorze

\(\displaystyle{ {39\choose\\8} \cdot {4\choose\\1}+{27\choose\\8} \cdot {4\choose\\2}+{13\choose\\8} \cdot {4\choose\\1}}\).

[pawelmitrus]

Wg mnie nie możemy tak zrobić, ponieważ przy losowaniu np \(\displaystyle{ {39 \choose 8}}\) uwzględniasz np taki przypadek że wylosujemy wszystkie 8 kart z jednego wśród 3 kolorów (a to zostało już policzone w \(\displaystyle{ {13 \choose 8}}\). Twoja metoda podchodzi bardziej pod zasadę "włączania i wyłączania", ale chyba powinna być rozpatrzona trochę inaczej : )

[mat_61]

janka, twój pomysł jest dobry, ale obliczenia niestety nie.

Ostatni składnik (czyli wybór wszystkich kart w tym samym kolorze) \(\displaystyle{ \textcolor{red}{{4 \choose 1} \cdot {13 \choose 8}}}\) jest OK.

Drugi składnik ma uwzględniać zestawy dwukolorowe, ale musisz zauważyć, że wśród wyborów z dwukolorowego zestawu których jest \(\displaystyle{ {26 \choose 8}}\) są także zestawy jednokolorowe których jest (wybieramy jeden z dwóch kolorów i liczymy ile jest zestawów w każdym z nich):

\(\displaystyle{ {2 \choose 1} \cdot {13 \choose 8}}\)

i których nie należy uwzględniać (bo są uwzględnione w przypadkach jednokolorowych)

Wszystkich zestawów dwukolorowych jest więc:

\(\displaystyle{ \textcolor{blue}{{4 \choose 2} \left[ {26 \choose 8} - {2 \choose 1} \cdot {13 \choose 8}\right]}}\)

Analogicznie należy obliczyć ilość zestawów trzykolorowych. Od wszystkich zestawów należy odjąć te dwukolorowe (policzone tak jak wyżej) oraz jednokolorowe. Czyli dla pierwszego składnika powinno być tak:

\(\displaystyle{ \textcolor{green}{{4 \choose 1} \left\{ {39 \choose 8} - {3 \choose 2}\left[ {26 \choose 8}- {2 \choose 1} \cdot {13 \choose 6} \right] - {3\choose 1} \cdot {13 \choose 8} \right\}}}\)

Wszystkich wariantów mamy więc:

\(\displaystyle{ {52 \choose 8} -\textcolor{red}{{4 \choose 1} \cdot {13 \choose 8}}-\textcolor{blue}{{4 \choose 2} \left[ {26 \choose 8} - {2 \choose 1} \cdot {13 \choose 8}\right]}-\textcolor{green}{{4 \choose 1} \left\{ {39 \choose 8} - {3 \choose 2}\left[ {26 \choose 8}- {2 \choose 1} \cdot {13 \choose 6} \right] - {3\choose 1} \cdot {13 \choose 8} \right\}}= \\ ={52 \choose 8} -4 {36 \choose 8} +6 {26 \choose 8} -4 {13 \choose 8}}\)

-- 15 kwi 2012, o 21:35 --

Można to także zrobić w inny sposób:

Zapiszemy liczbę 8 jako sumę czterech całkowitych liczb dodatnich co można zrobić na 5 sposobów:

\(\displaystyle{ 5+1+1+1 \\
4+2+1+1 \\
3+3+1+1 \\
3+2+2+1 \\
2+2+2+2}\)

Teraz możemy liczyć kolejno kombinacje dla wyboru 5 kart z jednego z wybranych kolorów + po 1 karcie z każdego pozostałych kolorów lub wyboru 4 kart z jednego z wybranych kolorów + 2 kart z drugiego z wybranych kolorów + po 1 karcie z każdego pozostałych kolorów itd.

[janka]

Dzięki za poprawienie moich obliczeń