3 króle na szachownicy

[Hassgesang]

Dana jest szachownica o wymiarach \(\displaystyle{ a}\) na \(\displaystyle{ b}\). Na ile sposobów można na niej położyć nieszachujące się króle, jeżeli są one różnokolorowe i jest ich
a) \(\displaystyle{ 2}\)
b) \(\displaystyle{ 3}\)
c) \(\displaystyle{ n}\)

Dla \(\displaystyle{ 2}\) króli mam \(\displaystyle{ f(a,b)=ab(ab-9)+6(a+b)-4}\), co jest raczej ok (dla \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) powinno być \(\displaystyle{ 3612}\), i tak jest). Nie mam pomysłu na ruszenie b), a tym bardziej c).-- 10 kwi 2012, o 10:35 --Podbijam temat, bo nie ma żadnych odpowiedzi, a zależy mi na rozwiązaniu

Dla \(\displaystyle{ 2}\) x \(\displaystyle{ 2}\) mamy tak: weźmy wszystkie ustawienia i odejmujmy: te z szachem z dołu, z góry, z boku, z ukosa (względem białego króla). No to mamy:

\(\displaystyle{ f(a,b)=ab \cdot (ab-1) - 4(a-1)(b-1)-2b(a-1)-2a(b-1) = ...}\)

Dla podpunktu b) robilibyśmy podobnie, zaczęłoby się od \(\displaystyle{ ab(ab-1)(ab-2)}\), a następne składniki byłyby niższych stopni (dobrze myślę?). Zasada włączeń i wyłączeń dawała dziwne wyniki, więc spróbowałem tak: niech dany będzie wielomian dwóch zmiennych taki, że \(\displaystyle{ f(a,b) = f(b,a)}\). Ręczne przeliczenie kilku wartości + Mathematica dały coś takiego: . Dlaczego dostaję niecałkowite wyniki?