Na ile sposobów możemy ustawić 6 książek na dwóch półkach?

[beacik]

Na ile sposobów możemy ustawić 6 książek na dwóch półkach, jeżeli każda książka może stać na dowolnej półce, a na każdej półce książki mogą stać w dowolnej kolejności?

[mat_61]

Wskazówka:

Wyobraź sobie wszystkie możliwe ustawienia tych książek w szeregu:

\(\displaystyle{ -x-x-x-x-x-x-}\)

Teraz dla każdego ustawienia postaw kreskę w dowolnym miejscu zamiast myślnika (to co po lewej wędruje na półkę A, a to co po prawej na półkę B.

[beacik]

Wyobrażałam sobie na wszelkie możliwe sposoby i nie bardzo wychodzi tak, jak powinno.

Według tej wskazówki, to zapisałabym to w ten sposób:
6!- możliwości ustawienia książek
pomnożyłabym to razy 7 możliwości postawienia "kreski"

W odpowiedziach znajduje się taki zapis:
\(\displaystyle{ 6!* 2^{5}}\)

Nie rozumiem tej odpowiedzi. Może ona jest błędna? Skąd \(\displaystyle{ 2^{5}}\)?

[mat_61]

Też nie rozumiem skąd taka odpowiedź.

Można to przecież policzyć "na piechotę" tzn. na półce A możemy mieć od 6 do 0 książek i liczymy wg schematu:

wybieramy n książek z 6 (na półkę A), porządkujemy książki na półce A, porządkujemy książki na półce B

A - 6 książek B - 0 książek:

\(\displaystyle{ {6 \choose 6} \cdot 6! \cdot 0!=6!}\)

A - 5 książek B - 1 książka:

\(\displaystyle{ {6 \choose 5} \cdot 5! \cdot 1!=6!}\)

A - 4 książki B - 2 książki:

\(\displaystyle{ {6 \choose 4} \cdot 4! \cdot 2!=6!}\)

.......................

A - 0 książek B - 6 książek:

\(\displaystyle{ {6 \choose 0} \cdot 0! \cdot 6!=6!}\)

Po zsumowaniu wszystkich przypadków (a nie widzę innych możliwosci) mamy:

\(\displaystyle{ 7 \cdot 6!}\)

[beacik]

Ja też robiłam to metodą na Zakopower
I już zwątpiłam w swoje umiejętności matematyczne...
Skąd \(\displaystyle{ 2^{5}}\) nie mam pojęcia, ale dziękuję za pomoc.
Wiem przynajmniej, że ktoś podziela mój tok myślenia.

[mat_61]

Można też policzyć w ten sposób:

Przez x oznaczamy ilość miejsc do wyboru dla kolejnej książki:

książka nr 1 (2 możliwości wyboru), wybieramy np. A:

A: x
B: x

książka nr 2 (3 możliwości wyboru), wybieramy np. A za książką 1:

A: x1x
B: x

książka nr 3 (4 możliwości wyboru), wybieramy np. B:

A: x1x2x
B: x

książka nr 4 (5 możliwości wyboru), wybieramy np. A przed książką 1:

A: x1x2x
B: x3x

itd.

Jak widać, po dołożeniu kolejnej książki (niezależnie gdzie ją dołożymy) uzyskujemy jedno dodatkowe miejsce do wyboru dla kolejnej książki, czyli wszystkich możliwości mamy:

\(\displaystyle{ 7!}\)

Jak by nie patrzeć wychodzi tak samo.

-- 4 kwi 2012, o 22:06 --

Jakby co to tutaj masz jeszcze jeden przykład (ustawienie osób w trzech kolejkach). Pierwszy składnik rozwiązania jest odpowiednikiem dowolnego ustawienia osób w trzech kolejkach (tak jak tutaj książek na dwóch półkach):

https://www.matematyka.pl/216628.htm?hil ... 0kolejkach

Pozostałe składniki związane są z warunkiem, że żadna kolejka nie może być pusta ale w kontekście tego zadania są nieistotne.