18. Na ile sposobów można ustawić n ludzi w kolejce tak, aby ustalone a) dwie, b) trzy osoby nie
stały jedna za drugą (w dowolnym porządku)?
moje rozwiązanie:
Ad.A wydaje mi się , że te dwie osoby mogą zajmować n-2 miejsc, trzeba to pomnożyć przez dwa bo w dowolnej kolejności oraz przez (n-2)! bo na tyle sposobów mogą się ustawić pozostałe osoby zatem:
\(\displaystyle{ (n-2) \cdot 2 \cdot (n-2)!}\)
Ad.B sposób myślenia jest podobny:
\(\displaystyle{ (n-4) \cdot 3! \cdot (n-3)!}\)
czy to jest dobrze ?
kombinatoryka, kolejka
-
- Użytkownik
- Posty: 650
- Rejestracja: 9 paź 2011, o 19:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: łódź
- Podziękował: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
kombinatoryka, kolejka
Wg mnie nie jest to poprawne rozwiązanie. Jeżeli dwie osoby nie mają stać koło siebie, to jeżeli jedna osoba zajmie miejsce na końcu lub początku kolejki to ta druga może zająć \(\displaystyle{ (n-2)}\) miejsc, ale jeżeli ta osoba zajmie inne miejsce to ta druga może zająć \(\displaystyle{ (n-3)}\) miejsc.
Jest znacznie prostsze rozumowanie. Od wszystkich możliwości ustawień osób w kolejce, czyli \(\displaystyle{ n!}\) odejmiemy te w których wybrane osoby są razem. Proponuję związać te dwie osoby sznurkiem (\(\displaystyle{ 2!}\) możliwości) i teraz mamy do ustawienia w kolejce \(\displaystyle{ (n-1)}\) elementów co możemy zrobić na \(\displaystyle{ (n-1)!}\) sposobów. Wszystkich możliwych ustawień wg punktu a) mamy więc:
\(\displaystyle{ n!-2!(n-1)!}\) sposobów.
Analogicznie możemy zrobić dla dowolnej liczby osób (wiązanie jest w tym przypadku niezawodne )
Jest znacznie prostsze rozumowanie. Od wszystkich możliwości ustawień osób w kolejce, czyli \(\displaystyle{ n!}\) odejmiemy te w których wybrane osoby są razem. Proponuję związać te dwie osoby sznurkiem (\(\displaystyle{ 2!}\) możliwości) i teraz mamy do ustawienia w kolejce \(\displaystyle{ (n-1)}\) elementów co możemy zrobić na \(\displaystyle{ (n-1)!}\) sposobów. Wszystkich możliwych ustawień wg punktu a) mamy więc:
\(\displaystyle{ n!-2!(n-1)!}\) sposobów.
Analogicznie możemy zrobić dla dowolnej liczby osób (wiązanie jest w tym przypadku niezawodne )
-
- Użytkownik
- Posty: 650
- Rejestracja: 9 paź 2011, o 19:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: łódź
- Podziękował: 2 razy
kombinatoryka, kolejka
zastosowałam twoje rozwiązanie dla n=6
wtedy:\(\displaystyle{ 6!-2 \cdot 5!=480}\)
a postępując logicznie powinno być \(\displaystyle{ 4 \cdot 2 \cdot 4!=192}\)
wtedy:\(\displaystyle{ 6!-2 \cdot 5!=480}\)
a postępując logicznie powinno być \(\displaystyle{ 4 \cdot 2 \cdot 4!=192}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
kombinatoryka, kolejka
Postępując logicznie są takie możliwości ustawienia osób A i B (na 6 miejsc) zakładając, że A jest po lewej stronie B i nie stoją obok siebie:
AxBxxx
AxxBxx
AxxxBx
AxxxxB
xAxBxx
xAxxBx
xAxxxB
xxAxBx
xxAxxB
xxxAxB
Jak widzisz takich możliwości jest \(\displaystyle{ 10}\). Teraz mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\) (zamiana miejscami A i B, czyli warianty w których B jest po lewej stronie A) no i oczywiście \(\displaystyle{ 4!}\) możliwych ustawień dla x-ów, czyli:
\(\displaystyle{ 10 \cdot 2 \cdot 4!=480}\)
Zgadza się?-- 3 kwi 2012, o 18:27 --Jeżeli chciałabyś koniecznie policzyć bezpośrednio wg Twojej propozycji to mamy tak:
Jeżeli A będzie na którymś z końców (\(\displaystyle{ 2}\) możliwości wyboru) to dla B mamy \(\displaystyle{ 4}\) możliwości wyboru i oczywiście \(\displaystyle{ 4!}\) możliwych ustawień dla pozostałych osób.
Jeżeli A będzie na innym miejscu niż końce (\(\displaystyle{ 4}\) możliwości wyboru) to dla B mamy \(\displaystyle{ 3}\) możliwości wyboru i oczywiście \(\displaystyle{ 4!}\) możliwych ustawień dla pozostałych osób.
Razem będzie:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 4 \cdot 4!+4 \cdot 3 \cdot 4!=4 \cdot 4! \cdot (2+3)=20 \cdot 4!=480}\)
AxBxxx
AxxBxx
AxxxBx
AxxxxB
xAxBxx
xAxxBx
xAxxxB
xxAxBx
xxAxxB
xxxAxB
Jak widzisz takich możliwości jest \(\displaystyle{ 10}\). Teraz mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\) (zamiana miejscami A i B, czyli warianty w których B jest po lewej stronie A) no i oczywiście \(\displaystyle{ 4!}\) możliwych ustawień dla x-ów, czyli:
\(\displaystyle{ 10 \cdot 2 \cdot 4!=480}\)
Zgadza się?-- 3 kwi 2012, o 18:27 --Jeżeli chciałabyś koniecznie policzyć bezpośrednio wg Twojej propozycji to mamy tak:
Jeżeli A będzie na którymś z końców (\(\displaystyle{ 2}\) możliwości wyboru) to dla B mamy \(\displaystyle{ 4}\) możliwości wyboru i oczywiście \(\displaystyle{ 4!}\) możliwych ustawień dla pozostałych osób.
Jeżeli A będzie na innym miejscu niż końce (\(\displaystyle{ 4}\) możliwości wyboru) to dla B mamy \(\displaystyle{ 3}\) możliwości wyboru i oczywiście \(\displaystyle{ 4!}\) możliwych ustawień dla pozostałych osób.
Razem będzie:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 4 \cdot 4!+4 \cdot 3 \cdot 4!=4 \cdot 4! \cdot (2+3)=20 \cdot 4!=480}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 650
- Rejestracja: 9 paź 2011, o 19:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: łódź
- Podziękował: 2 razy
kombinatoryka, kolejka
Rzeczywiście nie wiem czemu założyłam że osoby A i B ma dzielić tylko jedno miejsce.