Czy ktoś potrafi ładnie posumować następujący szereg?
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}}\)
niestety nie mam żadnego pomysłu jak to zrobić...
suma szeregu z symbolu Newtona
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
suma szeregu z symbolu Newtona
\(\displaystyle{ (1+1)^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k}}\)
\(\displaystyle{ (1-1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k {2n \choose k}}\)
dodaj to do siebie a policzysz tą sumę dwa razy..
-- 31 mar 2012, o 21:01 --
ewentualnie można indukcyjnie pokazać, że liczba podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,...2n\right\}}\) o parzystej liczbie elementów stanowi dokładnie połowę liczby wszystkich podzbiorów..
\(\displaystyle{ (1-1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k {2n \choose k}}\)
dodaj to do siebie a policzysz tą sumę dwa razy..
-- 31 mar 2012, o 21:01 --
ewentualnie można indukcyjnie pokazać, że liczba podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,...2n\right\}}\) o parzystej liczbie elementów stanowi dokładnie połowę liczby wszystkich podzbiorów..