Skąd wiemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^3} = \sum_{ n=0 }^{\infty }{n+2 \choose 2}x^{n}}\)?
Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy
Zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ (1+z)^r=\sum_{n \ge 0}\binom rn z^n}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^k} = (1-x)^{-k}=\sum_{ n\ge 0 }\binom {-k}{n}(-1)^nx^{n}=\sum_{ n\ge 0 }\binom {n+k-1}{n}x^{n}}\)
(ostatnia równość to negacja górnego wskaźnika)
Alternatywnie można też dwukrotnie zróżniczkować równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\sum_{ n\ge 0 }x^{n}}\)
i przesunąć wskaźnik sumowania.
Q.
\(\displaystyle{ (1+z)^r=\sum_{n \ge 0}\binom rn z^n}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^k} = (1-x)^{-k}=\sum_{ n\ge 0 }\binom {-k}{n}(-1)^nx^{n}=\sum_{ n\ge 0 }\binom {n+k-1}{n}x^{n}}\)
(ostatnia równość to negacja górnego wskaźnika)
Alternatywnie można też dwukrotnie zróżniczkować równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\sum_{ n\ge 0 }x^{n}}\)
i przesunąć wskaźnik sumowania.
Q.