Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
emperor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 12 lis 2008, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Post autor: emperor2 »

Skąd wiemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^3} = \sum_{ n=0 }^{\infty }{n+2 \choose 2}x^{n}}\)?
Ostatnio zmieniony 31 mar 2012, o 13:50 przez emperor2, łącznie zmieniany 1 raz.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Post autor: »

Zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ (1+z)^r=\sum_{n \ge 0}\binom rn z^n}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^k} = (1-x)^{-k}=\sum_{ n\ge 0 }\binom {-k}{n}(-1)^nx^{n}=\sum_{ n\ge 0 }\binom {n+k-1}{n}x^{n}}\)
(ostatnia równość to negacja górnego wskaźnika)

Alternatywnie można też dwukrotnie zróżniczkować równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\sum_{ n\ge 0 }x^{n}}\)
i przesunąć wskaźnik sumowania.

Q.
emperor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 12 lis 2008, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy

Post autor: emperor2 »

Dzięki.
ODPOWIEDZ