Witam! - nie wiem, czy w dobrym to umieszczam dziale?
a mianowicie mam pytanie - czy istnieje ( i jeśli istnieje, to w jaki sposób ją znaleźć ) tzw. "zwarta" postać wzoru na następujący iloczyn:
\(\displaystyle{ 2^3 \cdot 3^4 \cdot 4^5 \cdot\ldots \cdot n^{(n+1)}}\)
- postać "zwarta" - chodzi mi o to, że np. postacią "zwartą" sumy \(\displaystyle{ 1+2+3+\ldots +n}\) jest \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\)
oczywiście prosiłbym o podpowiedź, a nie gotowca
"zwarta" postać pewnego iloczynu
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 311
- Rejestracja: 5 gru 2010, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 34 razy
"zwarta" postać pewnego iloczynu
- tzn ? - nie za bardzo rozumiem tą podpowiedź
rozpatrując taki iloczyn nieskończony - jest on rozbieżny -
jak go zastosować do iloczynu skończonego???
rozpatrując taki iloczyn nieskończony - jest on rozbieżny -
jak go zastosować do iloczynu skończonego???
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
"zwarta" postać pewnego iloczynu
bardzo ciekawy problem..
niestety wątpię czy otrzymamy coś zwartego.. Twój iloczyn można zapisać jako: \(\displaystyle{ n!\cdot H(n)}\), gdzie \(\displaystyle{ H(n)= \prod_{i=1}^{n}i^i}\) (hyperfactorial function, chyba w polskiej literaturze nie ma czegoś takiego, ale poszukaj pod tym kątem, może coś znajdziesz) i na to nie ma zwartego wzoru.. nie wiem jakby miał pomóc iloczyn nieskończony, ale może zlogarytmować ten produkt i badać szereg logarytmów? może da radę jakąś funkcję tworzącą znaleźć tego, jeśli nie byłaby skomplikowana to byśmy byli choć trochę w lepszej sytuacji bo sobie ją zróżniczkujemy \(\displaystyle{ n}\) razy (i ewentualnie podzielimy przez \(\displaystyle{ n!}\), jeśli nie jest wykładnicza), weźmiemy wartość w zerze i mamy wynik..
zgaduję, że tą funkcję \(\displaystyle{ H(n)}\) można jakoś przybliżać, ale aktualnie nie mam czasu o tym poczytać..
niestety wątpię czy otrzymamy coś zwartego.. Twój iloczyn można zapisać jako: \(\displaystyle{ n!\cdot H(n)}\), gdzie \(\displaystyle{ H(n)= \prod_{i=1}^{n}i^i}\) (hyperfactorial function, chyba w polskiej literaturze nie ma czegoś takiego, ale poszukaj pod tym kątem, może coś znajdziesz) i na to nie ma zwartego wzoru.. nie wiem jakby miał pomóc iloczyn nieskończony, ale może zlogarytmować ten produkt i badać szereg logarytmów? może da radę jakąś funkcję tworzącą znaleźć tego, jeśli nie byłaby skomplikowana to byśmy byli choć trochę w lepszej sytuacji bo sobie ją zróżniczkujemy \(\displaystyle{ n}\) razy (i ewentualnie podzielimy przez \(\displaystyle{ n!}\), jeśli nie jest wykładnicza), weźmiemy wartość w zerze i mamy wynik..
zgaduję, że tą funkcję \(\displaystyle{ H(n)}\) można jakoś przybliżać, ale aktualnie nie mam czasu o tym poczytać..